振动与波动

简谐振动

判断简谐振动

受力情况

$x$ 为合外力为 $0$ 的点(不是初始位置)

$$F_\text{合}=-kx$$

微分形式

$$\frac{d^2x}{dt^2}+\omega^2x=0$$

运动方程

$$x=A\cos(\omega t+\varphi)$$

• 当运动方程为 $\sin$ 型时, 需要化为 $\cos$, 才可称为标准的简谐运动方程, 修正方法

$$A\sin(\omega x+\varphi)=A\cos(\pi/2-\omega x-\varphi)$$

• 标准简谐运动方程 $A$ 不可取负, 修正方法

$$-A\cos(\omega x+\varphi)=A\cos(\omega x-\varphi+\pi)$$

• 标准简谐运动方程 $\omega$ 不可取负值, 修正方法

$$\cos(-\omega x+\varphi)=\cos(\omega x-\varphi)$$

振动的物理量

以下物理量均要在标准振动方程中才有意义

速度

$$v=\frac{dx}{dt}=\omega A\cos(\omega t+\varphi+\frac{\pi}{2})$$

加速度

$$a=\frac{d^2x}{dt^2}=\omega^2A\cos(\omega t+\varphi+\pi)$$

1. $a=0$ 的点为平衡位置 $x_0$, 不是初始位置
2. 物体所受的合外力 $F=ma$

总能量

$$E=E_K+E_P=\frac{1}{2}kA^2$$

1. 由表达式可知, 简谐振动的总能量与振幅的平方成正比
2. 这一结论适用于其他形式的简谐运动

振幅

1. 符号为 $A$
2. 对于任意时刻下的质点位置 $x$ 与质点速度 $v$ 满足

$$A=\sqrt{x^2+\frac{v^2}{\omega^2}}$$

初相位

1. 符号为 $\varphi$
2. 对于任意时刻下的 $x$ 与 $v$ 满足

$$\tan\varphi=-\frac{v}{\omega x}$$

3. 初位相有两个取值($\arctan$), 需要根据速度判断

角速度

1. 符号为 $\omega$
2. 由物体的本质属性决定
3. 与周期 $T$, 频率 $\nu$ 的关系

$$T=\frac{2\pi}{\omega}$$

$$\nu=\frac{1}{T}=\frac{\omega}{2\pi}$$

4. $\omega,\varphi,A$ 完全确定了简谐振动的运动状态
5. 对于弹簧振子, 其固有频率满足 $$\omega^2=\frac{k}{m}$$

相位差

1. 用于比较两个同频率的简谐振动
2. 当 $\Delta\varphi_=\varphi_2-\varphi_1>0$ 则说第二个振动比第一个振动相位超前 $\Delta\varphi$

简谐振动的合成

旋转矢量表示法

1. $\omega>0$ 时, 以逆时针方向为旋转方向
2. 以矢量于 $x$ 轴方向的投影为振动位置 $x$
3. 通常计算 $t=0$ 下的旋转矢量, 此时矢量的夹角为 $\varphi$
4. 矢量的模长为 $A$

同方向同频率振动的合成

1. 当两个振动同频率, 则其旋转矢量的和矢量不会随时间变化, 因此和振动的旋转矢量可视为两个旋转矢量的合成
2. 通过计算和矢量的模长以及夹角, 得到合成矢量的标准振动方程
3. 通过几何求解

同方向不同频率振动的合成

1. 假设两振动振幅相同, 初相位为 $0$, 和振动为

$$x=2A\cos(\frac{\omega_2-\omega_1}{2}t)\cos(\frac{\omega_2+\omega_1}{2}t+\varphi)$$

2. 当 $\omega_2,\omega_1$ 较大, 且差值较小, 和振动的振幅成周期性变化, 称为拍现象

相互垂直的简谐振动的合成

频率相同

1. 假设两个振动 $A_1,A_2$ 频率相同, 方向垂直, 分别在 $x$ 轴与 $y$ 轴上进行
2. 由于两振动垂直, 因此和振动的轨迹将与 $A_1\times A_2$ 的矩形相切
3. 当分振动的相位差 $\Delta\varphi$ 取不同值, 和振动的轨迹不同
   1. $\Delta\varphi=\pm\pi$ 分振动同向/反向, 轨迹为矩形对角线
   2. $\Delta\varphi=\pm\frac{\pi}{2}$ 分振动正交, 轨迹为主轴与坐标轴重合的椭圆
   3. 其他情况则为与矩形相切的椭圆
   4. $0<\Delta\varphi<\pi$ 轨迹顺时针(分振动方向相同)
   5. $\pi<\Delta\varphi<2\pi$ 轨迹逆时针
   6. 选择 $t=0$, 比较 $x,y$ 变化的趋势来判断转动方向

频率成整数比

1. 图形与矩形 $x$ 方向边的交点数 $n_1$, 与 $y$ 方向边的交点数 $n_2$
2. $x$ 方向边的交点体现 $y$ 方向振动在一个 $T$ 内完成的半周期数, 因此 $n_2=\frac{T}{T_2/2}$
3. $y$ 方向同理有 $n_1=\frac{T}{T_1/2}$
4. 因此两个分振动的频率比满足

$$\frac{\nu_1}{\nu_2}=\frac{n_1}{n_2}$$

5. 当频率不成整数比则无法形成稳定的轨迹

实际振动

阻尼振动

阻尼振动中, 物体还受到一个阻碍运动的阻力, 其方向与速度方向相反, 大小与速度成正比

$$F=-\gamma\frac{dx}{dt}$$

$$\frac{\gamma}{m}=2\beta$$

弱阻尼

1. 当阻尼较小时, 物体依然保持往复运动
2. 弱阻尼下, 物体的角速度减小, 固有周期增长, 振动被延缓

$$\omega=\sqrt{\omega_0^2-\beta^2}$$

过阻尼/临界阻尼

1. $\beta>\omega_0$ 时, 为过阻尼, 物体回到平衡位置后不再运动
2. $\beta=\omega_0$ 时, 为临界阻尼, 物体回到平衡位置速度最快

受迫振动

1. 在周期性外力的作用下振动, 称为受迫振动
2. 振动的角频率, 振幅与初相位取决于驱动力
3. 当物体的固有频率与驱动力的频率接近时, 受迫振动的振幅达到最大, 称为共振

机械波

机械波的条件

1. 波源
2. 能够传播机械振动的介质

机械波的描述

1. 介质中振动相位相同的点构成的面为波面
2. 沿传播方向上的线为波线

机械波的波长

1. 符号表示 $\lambda$
2. 同一波线上相位相邻 $2\pi$ 的两个质元之间的距离

波的周期和频率

1. 周期符号 $T$, 频率符号 $\nu$
2. 波的周期与波源的振动周期相同

波速

1. 相位传播的速度, 又称为相速度, 符号表示 $u$

2. $$u=\frac{\lambda}{T}=\nu\lambda$$

波函数

用于描述波线上不同点的振动状态

$$y(x,t)=A\cos[\omega(t-\frac{x}{u})+\varphi]=A\cos[2\pi(\frac{t}{T}-\frac{x}{\lambda}+\varphi)]$$

1. $x$ 为波传播的正方向, 如果沿负方向传播, 则要取负数
2. 如果已知任意点 $x_0$ 的振动的振动状态(初相等), 则可带入 $x-x_0$, 得到波函数
3. 求波函数时
   1. 最好先使用旋转矢量法确定一个点 (原点) 的振动方程
   2. 再确定波传播的方向
   3. 使用 $t\pm x/u$ 代换 $t$

波的能量

假设初相位 $\varphi=0$, 波中任一点的能量为(每一点能量不同)

$$E=E_p+E_k=\rho\Delta V A^2\omega^2\sin^2[\omega(t-\frac{x}{u})]$$

1. $E_p\propto\Delta y$, 在波峰与波谷处, $y$ 大, 但 $\Delta y$ 小, $E_p$ 小; 在平衡位置 $E_p$ 大
2. $E_k\propto v$, 在波峰与波谷处 $E_k$ 小 , 在平衡位置处 $E_k$ 大
3. 因此波的能量在波峰波谷处最小, 能量流入, 在平衡位置能量最大, 能量流出; 不同于振动, 波中任一点的能量随时间不断变化
4. 整个波的能量是连续的, 但波上的单个点作简谐振动, 其能量不变

平均能量密度

$$\overline{\omega}=\frac{1}{T}\int \frac{E}{\Delta V}dt=\frac{1}{2}\rho A^2\omega^2$$

平均能流

单位时间通过某一面的能量称为平均能流

$$\overline{P}=\overline{\omega}uS=\frac{1}{2}\rho A^2\omega^2uS$$

• 能流的单位为 瓦特($J/s$)

平均能流密度

单位时间通过单位面积的能量称为平均能流

$$I=\frac{\overline{P}}{S}=\frac{1}{2}\rho A^2\omega^2 u$$

• 平均能流密度通常又称为波的强度

波的干涉

波干涉条件

1. 相遇的两列波频率相同, 振动方向相同(不是传播方向), 对振幅无要求
2. 在相遇区域两列波的相位差保持不变

干涉的极大与极小

1. 当相位差 $\Delta\varphi=(\varphi_2-\varphi_2)=2k\pi(k=0,\pm 1,\pm 2,...)$ 时, 两列波同相, 为干涉极大, 和振幅为 $A=A_1+A_2$
2. 当相位差 $\Delta\varphi=(\varphi_2-\varphi_2)=2k\pi(k=0,\pm 1,\pm 2,...)$ 时, 两列波反相, 为干涉极小, 和振幅为 $|A|=|A_1-A_2|$
3. 当两列波初相位相同, 相位差只取决于波程差(两列波的波速相同)

$$\frac{\Delta\varphi}{2\pi}\lambda=\Delta r=r_2-r_1$$

4. 两个波源在一点的位相差要综合考虑波源初位相与波程导致的位相差

$$\Delta\varphi = (\varphi_2-\varphi_1)-\frac{2\pi}{\lambda}(r_2-r_1)$$

驻波

1. 当两列振幅相同的相干波在同一直线上沿反方向传播时, 在叠加区域形成驻波
2. 合成的驻波有方程 $y=2A\cos(\frac{2\pi x}{\lambda})\cos(\omega t)$
3. 由方程得驻波的振幅为 $2A\cos(\frac{2\pi x}{\lambda})$ 与时间无关, 且成余弦函数形式
4. 当 $|\cos(\frac{2\pi x}{\lambda})|=1$ (注意取绝对值) 即 $x=k\frac{\lambda}{2}(k\in Z)$, 振幅最大, 为波腹
5. 当振幅最小时为波节
6. 当驻波两端固定时, 两端必为波节, 则要形成稳定的驻波, 要求绳长满足 $l=n\frac{\lambda}{2}$ (两波节间长度的整数倍)
7. 驻波中的平均能流密度为 0, 没有能量流动, 波腹势能为 0, 动能最大; 波节动能为 0, 势能最大

半波损失

1. 当入射点不移动, 则相当于反射波与入射波形成的驻波的一个波节, 此时入射波与反射波反相, 即有相位差 $\pi$, 称为半波损失
2. 当波从波疏介质入射到波密介质, 反射波将产生半波损失(折射波不存在半波损失), 否则不会有半波损失
3. 波密与波疏取决于介质中的 $\rho\cdot u$
4. 半波损失指入射波与反射波在入射点处的相位差为 $\pi$, 不是波函数的相位差为 $\pi$
5. 入射波与反射波的方向相反, 即波函数中要取 $-x$
6. 通过求出入射波在入射点的振动方程, 得到反射波在入射点的振动方程, 带入 $-(x-x_0)$(传播方向相反, 特定点的振动), 从而求出反射波的波函数

多普勒效应

对于波速 $u$, 波源速度与频率 $v_S,\nu_S$, 接收端速度与频率 $v_R,\nu_R$, 满足

$$\frac{\nu_R}{u-v_R}=\frac{\nu_S}{u-v_S}$$

1. 信号源速度 $v_S$, 接收端速度 $v_R$
2. 公式中的速度要取其在 $\overrightarrow{SR}$ 连线上的投影

电磁波

1. 电磁波中 $\vec{E},\vec{H}$ 相互垂直, 且与传播方向垂直, 是横波
2. $\sqrt{\varepsilon} E=\sqrt{\mu}H$ 两者同步, 且$E\gg H$
3. 电磁波的能流密度, 又称坡印廷矢量 $\vec{S}=\vec{E}\times\vec{H}$
4. 电磁波平均能流密度, 即光强 $I=\frac{1}{2}E_0H_0\propto E^2$