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力学基本定律

自然坐标系 P11

$$\vec{a} = \frac{v^2}{R} \vec{e_n} + \frac{dv}{dt} \vec{e_t}$$

$\vec{e_n}$ 为速度的垂直方向, 指向凹侧, $\vec{e_t}$ 为速度方向 $\vec{e_t}$ 项的 $\frac{dv}{dt}$ 为速率(速度的模)的改变量(导数), 不是加速度的模

转动系下的惯性力 P27

离心力

$$\vec{F_i} = \frac{1}{2}m\omega ^2\vec{r}$$

$\vec{r}$ 为圆心指向物体的矢量, 方向向外, 对于球体则是转轴

科氏力

$$\vec{F_c} = 2\vec{v}\times\vec{\omega}$$

反推力 P35

$$\vec{F_\text{推}} = u\frac{dm}{dt}$$

$u$ 为气体相对火箭的速度

动量 P31

动量定理

注意质量对 $dp$ 的影响

$$\vec{F}dt=d\vec{p}$$

动量守恒

$$\sum p = C$$

当合外力为零时使用动量守恒

角动量与力矩 P36

角动量

$$\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p}$$

力矩

$$\vec{M} = \vec{r} \times \vec{F} = \frac{d\vec{L}}{dt}$$

角动量定理

$$\vec{M}dt=d\vec{L}$$

角动量守恒

$$\sum L = C$$

当合力通过固定点时使用角动量守恒

保守力做功 P45

保守力必有两个物体相互作用, 为内力

重力势能

$$E_p = mgh$$

弹性势能

$$E_p = \frac{1}{2}kx^2$$

引力势能

$$E_p = -\frac{GM_1M_2}{R}$$

注意引力势能以无穷远为 $0$ 势能点, 有一个负号

功能原理与机械能守恒 P50

机械能守恒(仅有保守内力做功)

$$\sum E_k+E_p=C$$

功能原理

$$A_\text{外}+A_{\text{非保守内力}} = (E_{kb} + E_{pb}) - (E_{ka} + E_{pa})$$

刚体运动学

转动 P59

$$\omega = \frac{d\theta}{dt}$$

$$\alpha = \frac{d\omega}{dt}$$

$$\vec{v} = \vec{\omega} \times \vec{r}$$

用于求刚体上某一点的线速度

力矩 P61

定轴转动的力矩：

$$\vec{M_z} = \vec{r} \times \vec{F_v}$$

其中 $\vec{r}$ 为轴指向施力点的方向矢量
$\vec{F_v}$ 为力垂直于轴平面的分量, 力在轴方向的分量则使刚体沿轴移动

刚体定轴转动定律 P62

$$|\vec{M}| = J\alpha$$

$$|\vec{L}| = J\omega$$

此处 $\vec{L}$ 为刚体对于轴的角动量

转动惯量 P63

$$J = \int r^2dm$$

平行轴定理：

$$J = J_c + md^2$$

特别注意此处 $J_c$ 为通过质心的轴, $d$ 为平行轴到质心轴的距离 正交轴定理：

$$J_z = J_x + J_y$$

仅用于薄板, $J_z$ 为垂直于板的轴 常用转动惯量：

形状	轴位置	J
细杆	杆的一端	$\frac{1}{3}mL^2$
细杆	杆的中点	$\frac{1}{12}mL^2$
薄圆筒	中轴线	$mR^2$
圆盘/柱	中轴线	$\frac{1}{2}mR^2$
球壳	直径	$\frac{2}{3}mR^2$
球	直径	$\frac{2}{5}mR^2$

转动的功与能 P69

转动动能：

$$E_k=\frac{1}{2}J\omega^2$$

力矩的功：

$$A=\int^{\theta_2}_{\theta_1} Md\theta$$

$$Md\theta=dA$$

势能的处理：

$$E_p=mgy_c$$

其中 $y_c$ 表示重心的移动

刚体角动量 P71

$$|\vec{L}| = J\omega$$

注意刚体角动量与质点的区别, 其他类似. 固定点的杆转动不可用动量守恒, 因为在转轴有一个阻止杆整体移动的力, 但通过转轴, 力矩为 $0$. 详见 力学-角动量

滑轮问题 P67

在同一条绳子上各点的线加速度与线速度始终相同, 对于滑轮则表现为最外层的线速度与线加速度大小与物体相同. 要使滑轮有线加速度, 两侧的方向相反的力矩必不相同, 体现为滚轮两侧的弹力不同. 体现为：

$$RT_2 - RT_1 = J\alpha$$

$$R\alpha = a$$