流体力学

连续性方程 P78

$$Sv=C$$

分支管连续性方程：

$$S_0v_0=\sum S_iv_i$$

伯努利方程 P79

对于理想流体有：

$$\rho gh+p + \frac{1}{2}\rho v^2=C$$

分支管

对于分支管内各处伯努利方程的C相同

$$\rho gh_1+p_1 + \frac{1}{2}\rho v_1^2=\rho gh_2+p_2 + \frac{1}{2}\rho v_2^2=\rho gh_3+p_3 + \frac{1}{2}\rho v_3^2$$

从中间将分支管分为两个独立的流管, $1'\to 2\;1''\to 3$
$1'$ 与 $1''$ 处伯努利方程相同

动压强

与速度有关

$$p = \frac{1}{2}\rho v^2$$

静压强

与速度无关的压强

应用 P81

详见书

小孔流速

水面 $S_A\gg$ 小孔 $S_B$
水面 $V_A\ll$ 小孔 $V_B$
此时认为 $V_A=0$
但水面高度仍在变化

粘性流体

牛顿粘性定律 P85

$$F = \eta \frac{dv}{dx}S$$

• $F$ 相邻液层的粘性力
• $\eta$ 粘性系数 量纲 $Pa\cdot s$ 液体随温度升高减小, 气体相反
• $\frac{dv}{dx}$ 速度梯度, $x$ 为液面与固体界面的距离 (认为固体与流体界面上流速为 $0$)
• $S$ 层流液层的面积

雷诺数 P86

1. 层流 流体层仅有相对滑动
2. 湍流 流体层混乱, 有漩涡
3. 雷诺数 量纲为 $1$

$$Re=\frac{v\rho r}{\eta}$$

$r$ 流体管道的半径

4. 雷诺数分类
   • $Re>1500$ 湍流
   • $Re<1000$ 层流
   • $1000\ge Re \ge1500$ 过渡流

粘性伯努利

考虑能量损耗

$$\rho gh+p + \frac{1}{2}\rho v^2=\rho gh_2+p_2 + \frac{1}{2}\rho v_2^2+\omega$$

$$p-p_2=\omega$$

均匀管中, $\omega$ 与距离呈线性关系

泊肃叶定律 P88

$$q_v=\frac{\pi R^4}{8\eta L}(p_1-p_2)$$

流阻

$$q_v = \frac{\Delta P}{R_f}$$

$$R_f=\frac{8\eta L}{\pi R^4}$$

表明 $\Delta P$ 与 $L$ 成正比 串并联与电阻类似

斯托克斯定律 P90

球形物体在流体( $Re<1$ 如静止的液体)中运动所受的粘性阻力

$$F_f=6\pi\eta rv$$

当重力, 浮力, 粘性阻力相同时, 小球做匀速运动, 为最终速度