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电磁学

大约 16 分钟

电学

库仑定律

点电荷库伦力

F=Q1Q24πε0r2 F = \frac{Q_1Q_2}{4\pi \varepsilon_0r^2}

电场强度

点电荷电场强度

E=q4πε0r2 E = \frac{q}{4\pi \varepsilon_0r^2}

无限长的带电线

E=λ2πε0r E = \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0r}

无限大带电板

E=σ2ε0 E = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}

带电圆环

E=q4πε0R2cosθE=q4πε0R2xRE=qx4πε0(x2+r2)32 \begin{split} E &= \frac{q}{4\pi \varepsilon_0R^2}cos\theta\\ E &= \frac{q}{4\pi \varepsilon_0R^2}\frac{x}{R}\\ E &= \frac{qx}{4\pi \varepsilon_0(x^2+r^2)^\frac{3}{2}} \end{split}

带电球壳 外部

E=q4πε0r2 E = \frac{q}{4\pi \varepsilon_0r^2}

内部

E=0 E = 0

带电球体 外部

E=q4πε0r2 E = \frac{q}{4\pi \varepsilon_0r^2}

内部

E=qr4πε0R3 E = \frac{qr}{4\pi \varepsilon_0R^3}

使用高斯定理计算电场强度

  1. 判断电场强度的方向，对称性
  2. 设计高斯面 一般为球或圆柱
  3. 使用高斯定理得电通量

Φ=qε0 \Phi = \frac{q}{\varepsilon_0}

  1. 一般情况下计算电通量

Φ=∮SE⃗⋅dS⃗ \Phi = \oint_S \vec{E}·d\vec{S}

Φ=E∮S垂直dS  (E平行⃗⋅dS⃗=0) \Phi = E \oint_{S_{\text{垂直}}} dS\;(\vec{E_{\text{平行}}}·d\vec{S} = 0)

  1. 解出 EE

叠加法

将带电物体视为点电荷的叠加

∫0EdE=∫qdq4πε0r2 \int_0^EdE=\int_q\frac{dq}{4\pi\varepsilon_0r^2}

通过计算物体的单位面积/体积的电荷密度, 转换为面/体积分

电势梯度法 P219

电场中任意一点的场强, 与电势梯度大小相等, 方向相反 已知 F(P)=UF(P)=U 有 E=−grad→F(P)E = -\overrightarrow{grad}F(P)

电通量

dΦ=E⃗⋅dS⃗ d\Phi = \vec{E}·d\vec{S}

高斯定理 可用于非静电场

Φ=1ε0∬Sdq内 \Phi = \frac{1}{\varepsilon_0}\iint_S dq_\text{内}

不包括在面上的的电荷

电势

  1. 电势为标量
  2. 求电势前要明确零势点
    • 有限带电体为无穷远处
    • 无限大带电体为表面
  3. 电势的变化量等于电场力做功的负值除以单位正电荷 电势能转化为电场力做正功, 电势能减小, 沿电场力做功的方向电势减小
  4. U初末=U初−U末U_{\text{初末}}=U_\text{初}-U_\text{末} (与通常相反)

qΔU=−W q \Delta U = - W

Vpo=Vp=∫PV=0处E⃗⋅dl⃗ V_{po}=V_p = \int_P^{V=0\text{处}}\vec{E}·d\vec{l}

定义法求电势 P219

  1. E⃗\vec{E}为目标带电体整个激发的电场
  2. 积分路径为 00 势点到目标点的路径(电势大小与积分路径无关)

Vp=∫PV=0处E⃗⋅dl⃗ V_p = \int_P^{V=0\text{处}}\vec{E}·d\vec{l}

(可能有用)

dV=−Exdx−Eydy−Ezdz dV = -E_xdx - E_ydy - E_zdz

电势叠加法 P216

  1. 将带电体视为无数个点电荷的电势叠加 (代数和)
  2. 积分路径为带电体 (已默认无穷远电势为 00)
  3. dq,rdq,r 可能与 dVdV 有关

Vp=ΣiVi=∫qdq4πε0r V_p = \Sigma_iV_i = \int_q \frac{dq}{4\pi \varepsilon_0 r}

静电场中的导体 P221

静电平衡

  1. 导体内部场强为 00
  2. 电场强度垂直于导体表面

等价条件:

  1. 导体为等势体
  2. 导体表面为等势面 (内外相同)

导体表面的电场强度

对于导体表面的一点 PP

E=σPε0 E=\frac{\sigma_P}{\varepsilon_0}

此电场强度为所有带电物体共同作用的结果( σP\sigma_P 为所有带电物体共同影响下产生不同的电荷分布, 不一定是均匀分布)

导体表面的电荷面密度

  1. 尖端处 曲率极大 σP\sigma_P 极大
  2. 平滑处 曲率极小 σP\sigma_P 较小
  3. 内凹处 曲率小于0 σP\sigma_P 极小

内无电荷的导体壳

  1. 导体内表面无电荷分布
  2. 空腔内场强为 00

内有电荷的导体壳 P224

  1. 内有电荷时, 导体内表面感应出大小相等, 符号相反的电荷
  2. 外表面的电荷为 Q外=Q−Q内Q_\text{外}=Q-Q_\text{内}

导体的静电场计算 P227

电荷守恒

导体各部分电荷之和, 等于导体总电荷

高斯面

∵\because 导体内部的电场强度为 00∴\therefore 当高斯面通过导体内部时, ∬SE⃗⋅dS⃗=0\iint_S \vec{E}·d\vec{S}=0

电场叠加

导体内部的电场强度为 00 即所有带电物体在导体内任意一点激发的电场强度为 00

导线连接

导线连接处, 可能发生电荷转移, 两个导体的电势相同

导体接地

接地的导体电荷不一定为 00, 与原来所带的电荷无关, 只可根据电势为 00 判断

电场中的电介质

电极化 P229

  1. 取向极化 极性分子电偶极矩排列整齐
  2. 电位移极化 非极性/极性分子正负电荷中心偏移 外电场作用下发生极化 内部电荷量保持 00 介质表面出现极化电荷

电极化强度矢量 P230

P⃗=dp⃗dv \vec{P}=\frac{d\vec{p}}{dv}

P⃗\vec{P} 大小与 E⃗\vec{E} 同向, 成正比

面束缚电荷

σ′=dq′dS=P⃗⋅en⃗ \sigma'=\frac{dq'}{dS}=\vec{P}\cdot\vec{e_n}

电介质面束缚电荷等于电极化强度矢量在面法矢量上的分量

电位移的高斯定理

∮SD⃗dS⃗=∫qdq \oint_S\vec{D}d\vec{S}=\int_qdq

D⃗=ε0εrE⃗=εE⃗=ε0E⃗+P⃗ \vec{D}=\varepsilon_0\varepsilon_r\vec{E}=\varepsilon\vec{E}=\varepsilon_0\vec{E}+\vec{P}

ε0=8.854×10−12C2/(N⋅m2) \varepsilon_0=8.854\times10^{-12}C^2/(N\cdot m^2)

ε\varepsilon 积分微面处的电介质的介电常量

电容器 P236

电容

C=ΔQΔU C=\frac{\Delta Q}{\Delta U}

CC 由物体的形状等决定 UU 由于 QQ 的变化而改变

平行板电容

仅适用于平行板电容

E=σε E=\frac{\sigma}{\varepsilon}

介质不均匀时通过积分计算 UU

U=E⃗d U=\vec{E}d

C=εSd C=\frac{\varepsilon S}{d}

串联电容 P239

上一个极板的正极与下一个极板的负极相连 各个串联极板的电荷数量相同(电荷不能创造)

1C总=∑1Ci \frac{1}{C_\text{总}}=\sum\frac{1}{C_i}

Q总=Qi Q_\text{总}=Q_i

总最大耐压 需要逐个电容比较

Uimax⁡≥Umax⁡C总Ci U_{i\max}\ge\frac{U_{\max}C_\text{总}}{C_i}

并联电容

同号极板相连 各个极板间电压相同

C总=∑Ci C_\text{总}=\sum{C_i}

Umax⁡=min⁡{Uimax⁡} U_{\max}=\min\{U_{i\max}\}

计算水平方向不均匀的极板/不平行的极板 可以将其拆分为有限/无限多的电容并联

静电场的能量

点电荷的静电势能 P240

W=qU W=qU

带电体的静电能 P242

  1. 电荷之间相互作用的能量为互能
  2. 带电体自身电荷相互作用的能量为自能
  3. 点电荷体系的互能(点电荷没有自能)

W=12∑qiUi W=\frac{1}{2}\sum q_iU_i

UiU_i 为体系内其他电荷在 qiq_i 激发的电场

  1. 对于连续带电体

W=12∫qUdq=12∫vρUdv W=\frac{1}{2}\int_q Udq=\frac{1}{2}\int_v\rho Udv

通常 UU 与 dqdq 的位置有关, 需要转换为对物体的积分

  1. 由于电场的作用是相互的, 仅有 qUqU 将导致计算两次, 还要乘上 12\frac{1}{2}

电场能 P244

  1. 电容器内电场的电场能

We=12CU2=12εVE2=12Q2C W_e=\frac{1}{2}CU^2=\frac{1}{2}\varepsilon VE^2=\frac{1}{2}\frac{Q^2}{C}

VV 为电容器内电场的体积

  1. 电场能量密度

we=12εE2=12DE w_e=\frac{1}{2}\varepsilon E^2=\frac{1}{2}DE

适用于任意电场

We=12∫VεE2dv=12Q2C W_e=\frac{1}{2}\int_V\varepsilon E^2dv=\frac{1}{2}\frac{Q^2}{C}

通过计算电容器内电场的能量以计算电容大小

电偶极子

前提条件

r≫l r\gg l

电偶极子中轴线上的场强 P197

E=ql4πε0r3 E=\frac{ql}{4\pi \varepsilon_0r^3}

电偶极矩

p⃗=ql⃗ \vec{p}=q\vec{l}

l⃗\vec{l} 为负电荷指向正电荷的方向

E⃗=−p⃗4πε0r3 \vec{E}=-\frac{\vec{p}}{4\pi\varepsilon_0 r^3}

电偶极子的电势 P217

er⃗\vec{e_r} 为电偶极子中心指向探测电荷的方向

U=p⃗⋅er⃗4πε0r2 U=\frac{\vec{p}\cdot\vec{e_r}}{4\pi\varepsilon_0 r^2}

电偶极子的静电能 P241

W=−p⃗⋅E⃗ W=-\vec{p}\cdot\vec{E}

磁场 P255

F=qv⃗×B⃗ F=q\vec{v}\times \vec{B}

磁场强度定义

B=Fmaxqv B=\frac{F_{max}}{qv}

单位 TT

毕奥-萨伐尔定律 P 257

dB⃗=μ04πIdl⃗×er⃗r2 d\vec{B}=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{Id\vec{l}\times\vec{e_r}}{r^2}

r⃗\vec{r} 为微电流指向 PP 点的矢量

载流直导线 P258

B=μ0I2πa B=\frac{\mu_0 I}{2\pi a}

aa 距离直线的距离

无限大载流平面上方 P261

看作无数根无限长直导线组成

B=μ0I2b B=\frac{\mu_0I}{2b}

bb 平面宽度 与到平面的距离无关

载流圆环 P262

(中轴线)

B=μ0IR22(x2+R2)32 B=\frac{\mu_0IR^2}{2(x^2+R^2)^{\frac{3}{2}}}

(圆心)

B=μ0I2R B=\frac{\mu_0I}{2R}

xx 到圆心距离
RR 圆环半径

磁偶极子 P263

以载流圆环作为基本模型
S⃗\vec{S} 载流圆环的面积

m⃗=IS⃗ \vec{m}=I\vec{S}

B⃗=μ0m⃗2πR3 \vec{B}=\frac{\mu_0\vec{m}}{2\pi R^3}

磁场的高斯定律 P266

∮SB⃗dS⃗=0 \oint_S\vec{B}d\vec{S}=0

不垂直于环形磁场的平面

根据平面的左右端点做圆, 投影得到等效平面
见 P267

安培环路定律 P268

∮LB⃗dl⃗=μ0I \oint_L\vec{B}d\vec{l}=\mu_0I

I=∫Sj⃗dS⃗ I=\int_S\vec{j}d\vec{S}

  • j⃗\vec{j} 电流线密度(单线横切面上 j⃗=dI⃗dS\vec{j}=\frac{d\vec{I}}{dS})
  • SS 以 LL 为边的任意曲面
  • II 为通过 SS 的电流
  • LL 环路方向与 II 方向成右手螺旋定律 计算时需要先确定正方向

使用安培环路定律计算磁场强度 P271

  1. 做合适的安培环路, 使环路与 B⃗\vec{B} 垂直或共线(矩形/圆形)

  2. ∮LB⃗dl⃗=BL共线=μ0I \oint_L\vec{B}d\vec{l}=BL_\text{共线}=\mu_0I

  3. 计算单条路线上的环路积分, 可以利用对称法补全
  4. 利用不穿过电流的回路可以证明区域内 BB 大小方向相同 P273
  5. 默认无限长/环形螺线管外无磁场 P273 (管内B均相同 →\to 管内磁场线为无限长直线/圆环 →\to 无磁极时, 磁场线为闭合曲线 →\to 外部无磁场)

螺绕管 P264

将螺绕管视为无限个独立的载流圆环 每个微圆环上有微元电流

dI=NIdlL dI=NI\frac{dl}{L}

  • NINI 半横截面上的总电流
  • dlL\frac{dl}{L} 微圆环个数的倒数
  • dIdI 即为 半截面总电流 除以 微圆环个数 螺绕管轴线上有

dB=μ0dIR22(x2+R2)32 dB=\frac{\mu_0dIR^2}{2(x^2+R^2)^{\frac{3}{2}}}

B=μ0NIL=μ0nI B=\frac{\mu_0NI}{L}=\mu_0nI

线圈密度

n=NL n=\frac{N}{L}

使用安培环路定律可知管内各处 BB 相同

螺绕环 P275

B=μ0NI2πR=μ0nI B=\frac{\mu_0NI}{2\pi R}=\mu_0nI

电场与磁场相互作用

磁场对电荷的作用 P281

洛伦兹力

F⃗=qv⃗×B⃗ \vec{F}=q\vec{v}\times \vec{B}

霍尔效应

要求导体为有限尺寸 设导体宽 aa, 高 bb, 电流沿长方向

  1. 电流微观表达式 I=qnvsI=qnvs
    1. qq 载流子电量
    2. nn 载流子密度
    3. vv 载流子速度
    4. s=abs=ab 截面面积
  2. 霍尔效应平衡条件

qUHb=qvB q\frac{U_H}{b}=qvB

UH=RHIBa U_H=R_H\frac{IB}{a}

RH=1qn R_H=\frac{1}{qn}

其中 RHR_H 为霍尔系数, 与材料本身性质有关

磁致聚焦

  1. 从同一点出发的, 所有平行于磁场的速度分量 vzv_z 相同的粒子, 将在一个周期后又汇聚到磁场的同一点
  2. 粒子的 TT, ω\omega 与 vz⊥v_{z\perp} 无关

ω=vR=qBm \omega=\frac{v}{R}=\frac{qB}{m}

磁场对载流导线的作用

微观表达式

可用于任意情况, 需要积分 其中电流元 dl⃗d\vec{l} 的方向需要定义, 一般为电流方向

dF⃗=Idl⃗×B⃗ d\vec{F}=Id\vec{l}\times \vec{B}

非闭合导线

  1. 用于 II, BB 不变的情况, L⃗\vec{L} 为连接导线首尾的向量
  2. 由公式可得, 闭合导线受力为 00, 但力矩不一定为 00

F⃗=IL⃗×B⃗ \vec{F}=I\vec{L}\times \vec{B}

闭合导线

  1. 闭合导线在磁场中合力为 00, 合力矩不为 00
  2. 对导线围成的曲面微分有

dM⃗=IdS⃗×B⃗ d\vec{M}=Id\vec{S}\times \vec{B}

  1. 对于匀强磁场有

M⃗=IS⃗×B⃗=m⃗×B⃗ \vec{M}=I\vec{S}\times \vec{B}=\vec{m}\times \vec{B}

其中 m⃗=IS⃗\vec{m}=I\vec{S} 为磁偶极子

磁介质 P289

物质的磁性

相对磁导率

磁介质存在时的磁感应强度 BB 与无介质的磁感应强度 B0B_0 之比

μr=∣B⃗∣∣B0⃗∣ \mu_r=\frac{|\vec{B}|}{|\vec{B_0}|}

  1. 顺磁质 μr≥1\mu_r\ge 1
  2. 抗磁质 μr<1\mu_r<1
  3. 铁磁质 μr≫1\mu_r \gg 1
  4. 超导体 μr=0\mu_r=0

介质磁化

  1. 顺磁质 将分子电流视为磁矩 m⃗\vec{m}, 在外加磁场下, m⃗\vec{m} 方向与 B外⃗\vec{B_{\text{外}}} 相同, m⃗\vec{m} 激发与 B外⃗\vec{B_{\text{外}}} 同向的磁场
  2. 抗磁质 电子轨道在 B外⃗\vec{B_{\text{外}}} 作用下产生与其方向相反的磁场, 称为附加磁矩. 任何介质均存在, 但顺磁质为分子磁矩占主导

安培环路定律

介质的环路安培定律

沿环路的磁场强度积分等于通过环路的电流之和

∫LH⃗dl⃗=∮sj⃗ds⃗=∑I \int_L \vec{H}d\vec{l}=\oint_s \vec{j}d\vec{s}=\sum I

磁场强度

单位为 A/mA/m

H⃗=B⃗μ0μr \vec{H}=\frac{\vec{B}}{\mu_0\mu_r}

磁化强度

磁化强度矢量 M⃗\vec{M} 表示磁介质内单位体积内分子磁矩的矢量和

M⃗=μr−1μrμ0B⃗ \vec{M}=\frac{\mu_{r}-1}{\mu_r\mu_0}\vec{B}

物理含义

∫LB⃗μ0dl⃗=∫LM⃗dl⃗+∫LH⃗dl⃗=∑I′+∑I \int_L \frac{\vec{B}}{\mu_0}d\vec{l}=\int_L \vec{M}d\vec{l}+\int_L \vec{H}d\vec{l}=\sum I'+\sum I

  1. I′I' 为磁化电流, MM 为磁化电流的积分得到
  2. II 为传导电流, HH 为传导电流的积分得到
  3. 磁化电流(真空中不存在)加上传导电流即得到一般的安培环路定律
  4. 公式使用时, μr\mu_r 为环路处介质的相对磁导率, 当环路完全在介质外, 介质的磁化电流将相互抵消, 不产生效果, 注意分段

介质磁化率

χ=μ0−1 \chi=\mu_0-1

计算过程

  1. 找出积分路径
  2. 计算出积分路径围成面的 I传I_\text{传}
  3. 除以路径, 得到 HH
  4. 从 HH 计算得到 μ0μrH=B\mu_0\mu_r H=B 与 (μr−1)H=M(\mu_r-1)H=M
  5. 从 MM 计算得到磁化电流 ∫Mdl=I′\int Mdl=I'

铁磁质

  1. 介质 H⃗\vec{H} 与 B⃗\vec{B} 关系非线性
  2. 外加磁场消失, 介质磁场 B⃗\vec{B} 不为 00

电磁感应

电磁感应现象 P305

电动势概念

  1. 电势 概念来自静电场, 正电荷聚集的地方电势高, 即电压
  2. 电动势 体现的是电源把正电荷从负极移向正极的能力, 因此一般情况下, 电源电动势的方向与电源电势方向相反(负极到正极)
  3. 电动势与电势(电压) 无关, 需要将具有电动势的部分等效为 电源 (导线电动势, 方向相反) 加 内阻(导线内阻) 计算电路电压

电磁感应

  1. 定义感应电动势 εi\varepsilon_i

εi=−dΦdt \varepsilon_i=-\frac{d\Phi}{dt}

  1. Φ\Phi 为回路的磁通量, BB 不变时满足 dΦ=B⃗⋅dS⃗d\Phi=\vec{B}\cdot d\vec{S}
  2. 使用相关公式前一定要规定 ε\varepsilon, II 或 BB 的正方向, 并且使其满足右手定则关系
  3. 楞次定律 感应电流总是反抗引起感应电流的原因

全磁通

Ψ=∑Φi=NΦ \Psi=\sum \Phi_i=N\Phi

对于多匝线圈, 有多个回路产生电磁感应, 需要乘上匝数 NN, 并使用全磁通计算

计算注意

  1. 对于多匝线圈需要乘上匝数, 使用全磁通
  2. 计算注意
    1. 先求出磁通量 Φ\Phi 的微分形式 dΦ=B⃗⋅dS⃗d\Phi=\vec{B}\cdot d\vec{S}
    2. 对回路围成的曲面积分得到函数 Φ(t)\Phi(t)
    3. 对时间求导得到电动势 ε=dΦdt\varepsilon=\frac{d\Phi}{dt}
    • 不可直接对 dΦd\Phi 除以 dtdt

动生电动势 P309

  1. εab=−∫ab(v⃗×B⃗)⋅dl⃗ \varepsilon_{ab}=-\int_a^b(\vec{v}\times\vec{B})\cdot d\vec{l}

    1. 注意此公式中前面的负号
    2. 电流参考方向(dl⃗d\vec{l} 方向)为 aa 到 bb

  2. dS⃗=dx⃗×l⃗ d\vec{S}=d\vec{x}\times \vec{l}

dε=−B⃗⋅dx⃗×dl⃗dt d\varepsilon=-\frac{\vec{B}\cdot d\vec{x}\times d\vec{l}}{dt}

由此公式可得, 可用导体在 dtdt 扫过的面积来计算 dΦd\Phi, 从而计算 ε\varepsilon

  1. 在磁场中运动的导体在产生感应电流后, 通常还会受到安培力, 不能忽视

F⃗=IL⃗×B⃗ \vec{F}=I\vec{L}\times\vec{B}

感生电动势 P312

使用 Ei⃗\vec{E_i} 表示感生电场的场强, 有

εi=∮lEi⃗⋅dl⃗=−∫SB⃗⋅dS⃗ \varepsilon_i=\oint_l\vec{E_i}\cdot d\vec{l}=-\int_S \vec{B}\cdot d\vec{S}

即对 EE 的环路定律, 注意面积分前的负号

  1. 产生的感应电场为涡旋电场, 是有源场, 不能使用电势(不是电动势)
  2. 满足右手定则, 但要取负号
  3. 类似安培环路定律, 随回路 rr 增大, 根据回路是否在磁场中需要分情况
  4. 对于磁场中单独的导体, 可沿垂直于涡旋电场的方向补成回路(垂直方向 E⃗⋅l⃗=0\vec{E}\cdot\vec{l}=0), 通常是直径方向

电子感应加速器

  1. 电子处在交变电场中
  2. 涡旋电场提供电子的切向力
  3. 洛伦兹力提供向心力

互感与自感 P316

互感

  1. Ψ12=Mi1    Ψ21=Mi2 \Psi_{12}=Mi_1\;\;\Psi_{21}=Mi_2

  2. 符号 Ψ12\Psi_{12} 表示线圈 L1L_1 (由 i1i_1)产生的磁场 B1B_1 在线圈 L2L_2 的全磁通, 公式表明 Ψ12\Psi_{12} 与 i1i_1 成正比
  3. MM 为线圈 L1,L2L_1,L_2 的互感系数, 两者相同, 单位为 HH
  4. 当互感 MM 为常量时(线圈不发生变化)

    1. ε12=−Mdi1dt \varepsilon_{12}=-M\frac{di_1}{dt}

    2. M=∣ε12di1/dt∣ M=|\frac{\varepsilon_{12}}{di_1/dt}|

  5. 利用公式

M=Ψ12i1 M=\frac{\Psi_{12}}{i_1}

可先假设线圈 L1L_1 通有电流 i1i_1, 求出其在线圈 L2L_2 的全磁通 Ψ12\Psi_{12} , 从而求出 MM. 有如下技巧

  • 优先求较大的, 在外部的, 螺线管/环
  • 求出 MM 后, 再带入线圈 L2L_2 的电流 i2i_2, 从而求出线圈 L1L_1 的全磁通, 避免计算特殊线圈的磁场分布

自感

  1. 线圈上通过电流 →\to 电流激发磁场 →\to 磁场激发的自感电动势阻碍线圈电流的变化
  2. 线圈的磁通量与线圈电流成正比

Ψ=Li \Psi=Li

  1. 当自感系数不变时有

ε=−dΨdt=−Ldidt \varepsilon=-\frac{d\Psi}{dt}=-L\frac{di}{dt}

磁场能量 P321

RL 暂态电路

  1. 时间常数 τ=LG=LR\tau=LG=\frac{L}{R}

  2. i=εR(1−etτ) i=\frac{\varepsilon}{R}(1-e^{\frac{t}{\tau}})

磁场能量公式

  1. 磁能

W=12Li2 W=\frac{1}{2}Li^2

  1. 磁场能量密度

we=12B⋅H=12μB2 w_e=\frac{1}{2}B\cdot H=\frac{1}{2\mu}B^2

  1. 空间磁场的能量

W=∫Vwedv W=\int_V w_e dv

麦克斯韦方程组 P325

全电流

  1. 电路的电流在电容器处断开
  2. 电容器之间有高斯定理

q=∫SD⃗dS⃗ q=\int_S \vec{D}d\vec{S}

  1. 对 qq 求导得到位移电流

Id=∫Sjd⃗dS⃗=∫SdD⃗dtdS⃗ I_d=\int_S \vec{j_d}d\vec{S}=\int_S \frac{d\vec{D}}{dt}d\vec{S}

  1. 全电流定理 对于任意有回路穿过的闭合曲面满足

∮S(j⃗+jd⃗)dS⃗=0 \oint_S (\vec{j}+\vec{j_d})d\vec{S}=0

  1. 电流与位移电流均可激发磁场

∮lH⃗dS⃗=∫S(j⃗+jd⃗)dS⃗ \oint_l \vec{H}d\vec{S}=\int_S(\vec{j}+\vec{j_d})d\vec{S}

  1. 计算注意
    1. εE⃗=D⃗\varepsilon\vec{E}=\vec{D}
    2. 注意以环路是否完全包含 EE 来分情况
    3. 对于平行板电容, 认为内部的 E⃗,D⃗\vec{E},\vec{D} 垂直于平板, 且 dDdt\frac{dD}{dt} 均匀分布
    4. 根据全电流定律, 在电路中的电流 II 与电容中的位移电流相同
    5. 复杂情况可使用高斯定理计算 DD (分为两个面, 经过导线的面没有电场线通过)

麦克斯韦方程组

电场高斯定理

∮SD⃗dS⃗=∑q=∮VρdV \oint_S \vec{D}d\vec{S}=\sum q=\oint_V \rho dV

磁场高斯定理

∮SB⃗dS⃗=0 \oint_S \vec{B}d\vec{S}=0

涡旋电场环路定理

∮lE⃗dl⃗=−∫SdB⃗dtdS⃗ \oint_l \vec{E}d\vec{l}=-\int_S \frac{d\vec{B}}{dt}d\vec{S}

  1. ll 电路回路
  2. SS 电路回路围成的面
  3. 对回路上的电场反向积分 等于 回路围成面上磁感应强度的变化率

安培环路定理

∮lH⃗dl⃗=I+Id=∫S(j⃗+dD⃗dt)dS⃗ \oint_l \vec{H}d\vec{l}=I+I_d=\int_S(\vec{j}+\frac{d\vec{D}}{dt})d\vec{S}

  1. ll 磁场回路
  2. SS 磁场回路围成的面
  3. 对回路上的磁场积分 等于 回路围成面上电位移矢量的变化率与电流之和