实验理论与方法

测量

等精度测量与不等精度测量

等精度测量

对某一物理量进行多次重复测量时，测量条件不变的测量。

不等精度测量

对某一物理量进行多次重复测量时，测量条件完全不同或部分不同的测量。 绝对的等精度测量是不存在的。

直接测量与间接测量

一个物理量是直接测量量，还是间接测量量，由测量方法决定

直接测量

可以用测量仪器或仪表直接读出测量量值的测量

间接测量

依据待测量与若干个直接测量值的函数关系确定待测量量值的测量

基本单位

意义	名称
长度	米/$m$
质量	千克/$kg$
时间	秒/$s$
电流强度	安培/$A$
热力学温标	开尔文/$K$
物质的量	摩尔/$mol$
发光强度	坎德拉/$cd$

基本单位推导出的单位称为导出单位

数据表示

列表法

1. 表名
2. 第一行为自变量
3. 之后为因变量
4. 表头要有物理量及单位
5. 内容为测量数据，注意有效数字

图示法

1. 坐标系上为图名
2. 坐标轴上有物理量名，单位
3. 坐标轴上正确分度（真实分度的 $2$，$5$，$10$ 倍），与测量仪器最，小刻度对应
4. 横轴-自变量；纵轴-因变量
5. 光滑曲线，测点均分曲线两侧
6. 可以不从零开始

最小二乘法

根据相关系数 $r$ 来判断 $x$、$y$ 之间线性性的程度，物理实验中一般要求 $r$ 绝对值达到 $0.999$ 以上。

逐差法

要求自变量是等间隔变化而函数关系为线性 使用逐差法时，带入的数据不可以是间接测量量

误差

$$\text{误差} = |\text{测量值} - \text{真值}|$$

系统误差

在同一被测量的多次测量过程中，保持不变或以可预知方式变化的误差。（具有确定性的规律）

1. 已定系统误差 误差的数值与符号和规律已确定的称为已定系统误差。（可消除、修正或降低影响）
2. 未定系统误差 数值未确切掌握，或数值大小已知而符号未确定的称为未定系统误差，在测定条件不变时，它是固定值，不具有抵偿性，这有别于随机误差。（可估计其误差限）如电流表、电压表的量程误差
3. 仪器误差 由于仪器制造的缺陷，使用不当，或仪器未经很好的校准所造成的误差（如：秒表偏快，偏慢．米尺刻度不匀等）。
4. 理论和方法误差 实验所依据的理论公式的近似性，实验条件或测量方法不能满足理论公式所要求的条件等引起的误差。（如：忽略摩擦，散热，电表的内阻等）。
5. 测量人员主观因素和操作技术所引起的误差。（如：反应速度，分辨能力，读数习惯等）。

随机误差

以不可预知的方式变化的误差。（随机变化，服从统计规律）

粗大误差

由于观测者未正确地使用仪器、观察错误或记录错数据等不正常情况下引起的误差。粗大误差应当被剔除。

消除可定系统误差的方法

1. 示零法
2. 替代法
3. 抵偿法
4. 交换法
5. 复称法 消除天平不等臂所产生的系统误差

不确定度

$$\text{测量结果}=\text{测量结果的估计值}\pm\text{不确定度}$$

标准偏差$\sigma$

$$\sigma = \frac{1}{n -1}\sqrt{\sum_{i=1}^n(\bar{x} - x_i)^2}$$

粗大误差的判别和剔除

凡是偏差大于 $3$ 倍标准偏差的数据一律剔除，然后将（剔除后）新的数据重新处理一次，得出新的平均值与标准偏差。

A 类不确定度

直接不确定度

以平均值的标准偏差表示

$$u_a=\sigma_{\bar{x}}=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$

扩展 A 类不确定度

当 $n$ 为有限时，不确定度还要乘上 $t_p$
$t_p$ 由普信概率 $P$ 与实验次数决定

$$U_a=t_p\times u_a$$

B 类不确定度

$$u_B = \sqrt{u_\text{仪}^2 + u_\text{估}^2} \approx u_\text{仪}^2 = k_p\frac{\Delta_\text{仪}}{C} \approx \Delta_\text{仪}$$

1. $k_p$ 置信因子 与置信概率有关
2. $C$ 置信系数 与仪器的误差概率分布有关
3. $\Delta_\text{仪}$为仪器最大允许误差，有时也直接取为仪表最小刻度的一半
   • 对于未加说明的仪器 $\Delta_\text{仪} = \frac{\text{最小分度}}{2}$
   • 游标卡尺/数字仪表 $\Delta_\text{仪} = \text{最小分度}$

标准不确定度

$$u = \sqrt{u_A^2 + u_B^2}$$

1. 当其中一个不确定度远大于另一个，可只取较大的一个
2. 在单次测量中 $u = u_B$
3. 相对不确定度 $u_r = \frac{u}{\bar{x}} \times 100\%$

当被测值有公认标准值或理论值时

$$u = |\text{测量值} - \text{理论值}|$$

$$u_r = |\frac{\text{测量值} - \text{理论值}}{\text{理论值}}|\times 100\%$$

传递不确定度

偏导的值使用平均值代入

$$u^2=\sum^n_{i=1}(\frac{\partial f}{\partial x_i})^2u_i^2$$

结果表示

$$Y = \bar{Y} \pm u (\text{单位})(P = \text{普信概率})$$

结果表述中不确定度只能取 $1$ 位有效数字，测量值有效数字尾数与不确定度尾数应对齐

有效数字

基本原则：测量值一般只保留一位欠准确数，其余均为准确数。

1. 实验测量中记录的数据必须是有效数字，有效数位直接反映测量的准确度，不能随意取舍。
2. 有效位数：数据左起第一位非零数起,到第一位欠准数止的全部数字。

新四舍五入

拟舍弃数字不等于 $5$ 时，大于 $5$ 则进，小于 $5$ 则舍。拟舍弃数字等于 $5$ 时，欲保留数字末位是奇数则进，是偶数则舍。

运算规则

加减法

结果的有效数字的小数位数与参与运算数中小数位数最少的相同。

乘除法

结果的有效数字位数与参与运算数中有效数字位数最少的相同。

乘方/开方(底数为函数值)

与底数的有效数字位数相同

指数函数(指数为函数值)

结果的有效数字与参与指数的小数位数(小数点到最后一个前准确位数)相同。

实验方法

误差均分原理

$$\begin{split} u_r &=\frac{u}{\bar{Y}}\\ &= \sqrt{\sum^n_{i=1}(\frac{\partial Y}{Y \partial x_i})^2u_i^2}\\ &= \sqrt{\sum^n_{i=1}(\frac{\partial lnY}{\partial x_i})^2u_i^2} \end{split}$$

假定

$$(\frac{\partial lnY}{\partial x_1})^2u_1^2 = (\frac{\partial lnY}{\partial x_2})^2u_2^2 = ... = (\frac{\partial lnY}{\partial x_i})^2u_i^2 = \frac{u_r^2}{n}$$

要使

$$u_r < k\%$$

有

$$u_i < \frac{k\%}{\sqrt{n}}\frac{\partial x_i}{\partial lnY} (\text{注意}n\text{表示函数Y自变量的个数})$$

带入实验的估计结果得到 $u_i$ 的最大值
应用
单摆实验中，测量单摆周期的主要误差为开始/停止计时时按下按键的误差，因此可将其视为T的不确定度，可以通过增加测量的周期，均分误差，使误差达到要求。

$$\frac{2\Delta_\text{人}}{n} \le u_{Tmax}(\text{此处}n\text{表示测量的周期})$$