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狭义相对论

大约 3 分钟

狭义相对论

基本假设 P98

  1. 物理规律对所有参考系相同
  2. 真空中光速不变

时间延缓 P100

在 S′S' 系中, 发生在同一地点的两个事件的时间间隔 Δt′=τ\Delta t' = \tau 为固有时间
在 SS 系中, Δt\Delta t 为发生在不同地点的相应的事件的时间间隔 vv 为 SS 与 S′S' 相对运动的速度

Δt=(固有)Δt′1−v2c2 \Delta t=\frac{(\text{固有})\Delta t'}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}

γ=11−v2c2≥1 \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\ge1

β=vc \beta=\frac{v}{c}

结论:

Δt≥τ \Delta t\ge\tau

固有时间最短
对于一个固定在参考系 SS 的钟, 其他任何参考系观察这个钟, 都走得比 SS 观察的走得慢

长度收缩 P102

  • 对于相对物体静止的参考系 S′S' , 可以直接测量长度
  • 对于相对物体(汽车)运动的参考系SS , 确定一点x, 车头车尾经过该点的时间间隔 Δt\Delta t , L=Δt⋅vL = \Delta t\cdot v
  • 车头经过该点为事件 AA, 车尾经过该点为事件 BB, 对于SS , AA 与 BB 发生在同一地点, 对于 S′S' , AA 与 BB 发生在不同地点. Δt\Delta t 为固有时间

γΔt=Δt′ \gamma\Delta t=\Delta t'

∴L=(原长)L′1−v2c2 \therefore L=(\text{原长})L'\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}

结论:
相对物体运动的参考系测量物体的长度, 都将小于物体的原长

洛伦兹变换 P104

位置变换

  1. 设 PP 点发生事件 AA 于 SS 系中坐标为 (x,y,z,t)(x,y,z,t) 于 S′S' 系中坐标为 (x′,y′,z′,t′)(x',y',z',t')
  2. 设 S′S' 系相对 SS 系以沿 xx 轴的速度 vv 运动
  3. 分析有 ∣OA∣S=x|OA|_S=x 在 SS 中静止, ∣O′A∣S′=x′|O'A|_{S'}=x' 在 S′S' 中既不是原长, 也不是运动(一个端点 AA 运动, 一个端点 O′O' 静止), 不能直接使用长度收缩公式
  4. S′S' 中 ∣OO′∣=vt′|OO'|=vt'
  5. 整理得到

x′=∣OA∣S′−∣OO′∣S′x′=x1−v2c2−vt′x′+vt′1−v2c2=x \begin{split} x' &= |OA|_{S'} - |OO'|_{S'}\\ x' &= x\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}-vt'\\ \frac{x'+vt'}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} &= x \end{split}

  1. 设S系相对S'系以速度-v运动有

x′=x−vt1−v2c2 x'=\frac{x-vt}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}

时间变换

将 xx 与 x′x' 的关系联立, 消去 xx 或 x′x'

t′=t−xvc21−v2c2 t'=\frac{t-x\frac{v}{c^2}}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}

t=t′+x′vc21−v2c2 t=\frac{t'+x'\frac{v}{c^2}}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}

速度变换

  1. mm 方向上的速度

um=dmdt u_m=\frac{dm}{dt}

  1. xx 轴上, 两个参考系的 dxdx 不同
  2. 所有轴上, 两个参考系的 dtdt 不同
  3. 带入位置与时间变换可得

ux′=dx−vdtdt−dxvc2=ux−v1−uxvc2 u'_x=\frac{dx-vdt}{dt-dx\frac{v}{c^2}}=\frac{u_x-v}{1-u_x\frac{v}{c^2}}

uy′=dydt−dxvc21−v2c2=uy1−v2c21−uxvc2 u'_y=\frac{dy}{\frac{dt-dx\frac{v}{c^2}}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}}=\frac{u_y\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}{1-u_x\frac{v}{c^2}}

质量变换

m=m01−u2c2=γm0 m=\frac{m_0}{\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}}=\gamma m_0

m0m_0 为物体静质量
uu 既可指 SS 中物体的速度, 也可指相对物体静止的参考系 S′S' 相对 SS 的速度

相对论动量

由此得到动量定义

p⃗=u⃗m01−u2c2=γm0u⃗ \vec{p}=\frac{\vec{u}m_0}{\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}}=\gamma m_0\vec{u}

相对论能量

  1. 动能

Ek=γm0c2−m0c2 E_k=\gamma m_0c^2-m_0c^2

  1. 总能量

E=γm0c2 E=\gamma m_0c^2

  1. 静能量

E0=m0c2 E_0=m_0c^2

  1. 质能方程

ΔE=Δmc2 \Delta E=\Delta mc^2

光子的情况

E2=p2c2+m02c4 E^2=p^2c^2+m_0^2c^4

光子 m0=0  E=hνm_0=0\;E=h\nu
代入上式得到光子 E=pcE=pc