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共形映射

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共形映射

复变导数的几何性质

当解析函数 f(z)f(z) 在 z0z_0 处导数不为 0 时满足

f′(z0)=∣f′(z0)∣eiα f'(z_0)=|f'(z_0)|e^{i\alpha}

其中

  • ∣f′(z0)∣=lim⁡Δz→0∣Δw∣∣Δz∣ |f'(z_0)|=\lim_{\Delta z\to 0}\frac{|\Delta w|}{|\Delta z|}

为伸缩率, 表现为解析函数导数伸缩率不变性

  • eiα=lim⁡Δz→0ei(φ−θ) e^{i\alpha}=\lim_{\Delta z\to 0}e^{i(\varphi-\theta)}

为旋转角, 表现为解析函数导数旋转角不变性

  • 由旋转角可以引出保角性, 即两个曲线在 z0z_0 处切线的夹角在变换后 w0w_0 处保持不变, 仅在 f′(z0)≠0f'(z_0)\neq 0 时满足

共形映射

  1. 当函数 w=f(z)w=f(z) 在 DD 内解析, 且 f′(z)≠0f'(z)\neq 0, 则为第一类保角映射
  2. 若在第一类保角映射基础上满足对任意 z1≠z2z_1\neq z_2 有 f(z1)≠f(z2)f(z_1)\neq f(z_2), 则称 w=f(z)w=f(z) 为共形映射
  • ez=f(z)e^z=f(z) 在全平面不满足共形映射要求, 但在 0<Imz<2π0<Imz<2\pi 内满足共形映射

已知映射f(z)求像w

  1. 区域共形映射后仍为区域
  2. 按边界方向选取三个点, 求映射后的点, 确定映射后曲线的方向(映射前后曲线方向不一定相同)
  3. 可将映射由内向外分解为简单映射, 逐步求出像

分式线性映射

对于分式线性函数

f(z)=az+bcz+d f(z)=\frac{az+b}{cz+d}

其中 a,b,c,da,b,c,d 为复数且 ad−bc≠0ad-bc\neq 0 分式线性映射在复平面上为共形映射

映射分解

  1. w=z+bw=z+b 平移映射
  2. w=zeiθw=ze^{i\theta} 旋转映射
  3. w=Rzw=Rz 相似映射
  4. w=1zw=\frac{1}{z} 反演映射 为单位圆对称与实轴对称两种变换的合成

保圆性

注意此处视直线为过无穷远处的圆 求解对象由线段(半径无限的圆弧)与圆弧构成

三点定圆

只需在圆周上取三点, 求出其映射点, 即可确定像曲线

  1. 其中两点通常为端点/与坐标轴交点
  2. 直线默认有一点为无穷远点, 还需要两点
  3. 分式线性映射中, 使分母为 0 的点即映射为无穷远点的点

保角性

通常第三点难以确定时可利用保角性求解

  1. 辅助线法
    1. 过映射为无穷远点的点/原点与曲线切线/已知点(垂直点)做辅助直线
    2. 求出辅助直线的映射与曲线的映射在其交点切线夹角不变, 最好使夹角为 0, 180°, 90°
    3. 注意夹角指曲线方向的切线, 具有方向性
  2. 多曲线区域 当区域由多条曲线构成时, 可以先求出简单的一条曲线的共形映射, 然后由曲线交点处的保角性求出其他曲线的映射

保对称性

分时共形映射中, 若 z1z_1 与 z2z_2 关于边界曲线 CC 对称, 则经分式共形映射后的 w1w_1 w2w_2, 将关于映射像 Γ\Gamma 对称 注意此处对称包括直线对称与圆对称

对应点公式

z−z1z−z2:z3−z1z3−z2=w−w1w−w2:w3−w1w3−w2 \frac{z-z_1}{z-z_2}:\frac{z_3-z_1}{z_3-z_2}=\frac{w-w_1}{w-w_2}:\frac{w_3-w_1}{w_3-w_2}

含无穷远点的情况

当 wkw_k 或 zkz_k 含有 ∞\infty 时, 则含有 ∞\infty 的项换 1

公式简化

原始公式中含有的两个常数项可以使用一个未知复常量 kk 代替

w−w1w−w2=kz−z1z−z2 \frac{w-w_1}{w-w_2}=k\frac{z-z_1}{z-z_2}

当 w1=∞,w2=0w_1=\infty,w_2=0 时有

w=kz−z1z−z2 w=k\frac{z-z_1}{z-z_2}

由于大部分题目不满足共形映射唯一性, 结果不唯一, 因此可以任意指定两点映射为 00 与 ∞\infty 的 z1,z2z_1, z_2, 一般选取特殊点映射

公式使用

  1. 使用对应点简化公式时, 如果仅有一个对应点, 可以通过保对称性得到第二个对应点
  2. 未知常量可写为 k=Reiθk=Re^{i\theta}, 表明未知常量体现为一个旋转映射与相似映射, 可先求出 k=1k=1 时的像 C′C', 再对比 C′C' 与 Γ\Gamma 求出 kk
  3. 共形映射时, 要注意曲线的方向, 以及曲线方向决定的区域, 并作为 θ\theta 的决定依据
  4. 共形映射前后边界不变, 可以此确定 C′C' 的半径, 并通过与 Γ\Gamma 的半径对比, 确定 RR

对应点选择

  1. 两圆弧相交型映射为角形域 将两圆弧(线段)的端点分别作为 z1,z2z_1,z_2 映射为 ∞\infty 与 00, 可得到过原点的两条射线(角形域)
  2. 两圆内切映射为带形域 将内切点作为 z1z_1 映射为 ∞\infty, 另一点通过保角性, 包对称性或选取特殊点, 可得到两条直线(带形域)

上半平面映射为单位圆

上半有边界线 C:Imz=0C:Imz=0
单位圆有边界线 Gamma:∣z∣=1Gamma:|z|=1
在上半平面中取任意一点 z0z_0, 其对称点即其共轭复数 z0ˉ\bar{z_0}
当 z0z_0 映射为 w0=0w_0=0, 则其关于单位圆的对称点为 w1=∞w_1=\infty
通过对应点公式, 得到映射

w=eiθz−z0z−z0ˉ w=e^{i\theta}\frac{z-z_0}{z-\bar{z_0}}

  • 注意, 通常带定量 θ\theta 与 z0z_0 可任意选取, 但是当题目给出对映射的限制条件时, 要保留. 直到求出 w=f(z)w=f(z) 后, 根据题目要求确定. 一般无法提前确定

平面域 CC →\to 圆域 Γ\Gamma

  1. 先通过简单的分式共形映射z′,z′′,...znz',z'',...z_n, 将平面域映射为上半平面域 CnC_n
  2. 使用映射公式求得到圆域 Γn\Gamma_n, 然后再通过简单分时共形映射得到要求圆域

圆域 CC →\to 平面域 Γ\Gamma

  1. 先求出 z=f(w)z=f(w), 使 Γ\Gamma 映射为 CC
  2. 求出反函数 w=g(z)w=g(z), 即要求的映射

初等函数的共形映射

幂函数 w=znw=z^n

  1. 可将标准角形域 0<φ<θ00<\varphi<\theta_0 映射为 0<φ<nθ00<\varphi<n\theta_0
  2. nn 要满足 n≤2πθ0n\le\frac{2\pi}{\theta_0}, 否则不满足共形映射单值性要求
  3. 对于扇形域, 幂函数在扩大角的同时还会使扇形半径 RR 变为 RnR^n, 不可忽视
  4. 幂函数无法将扇形域映射为单位圆, 即使角度为 2π2\pi, 映射后无法取到 00 与 z=xz=x 的点(为边界)
  5. 对于半圆域可视为两个弧构成的区域, 化为角形域
  6. 幂函数可将标准角形域映射为上半平面(或逆映射)

指数函数 w=ezw=e^{z}

  1. 可将标准带形域 0<Imz<h0<Imz<h 映射为标准角形域 0<φ<ehi0<\varphi<e^{hi}
  2. hh 需要满足 <h<2π<h<2\pi, 否则不满足共形映射单值性要求
  3. 对于左侧带形域, 将映射为扇形域, 具体半径需要带入右侧边界
  4. h=2πh=2\pi 无法化为单位圆域, 原因同上

共形映射解题步骤

  1. 每次变形均要画图
  2. 标出边界方向与区域
  3. 标出主要刻度
  4. 不需要化简结果