解析函数

复变函数的导数

当函数不解析时, 需要通过导数的定义计算导数/判断导数是否存在

$$f'(z_0)=\lim_{\Delta z\to z_0}\frac{f(z_0+\Delta z)-f(z_0)}{\Delta z}$$

• 当 $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ 时, 可直接使用 C-R 方程判断
• $\Delta z=\Delta x+i\Delta y$

解析函数定义

$f(z)$ 在 $z_0$ 及 $z_0$ 的邻域内处处可导, 则称 $f(z)$ 在 $z_0$ 处解析
若 $f(z)$ 在 $D$ 内每一点解析, 则称 $f(z)$ 为 $D$ 内解析函数

函数解析的充要条件

柯西方程

函数在 $z=x+yi$ 可导的条件为:

1. $u(x,y)$ 与 $v(x,y)$ 在 $(x,y)$ 处可微
2. 满足柯西方程( C-R 方程):

$$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}\;,\;\;\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}$$

3. 当 $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ 时, 应将实部带入 $x$, 虚部带入 $y$

解析函数的导数

满足 C-R 方程时, 可按以下公式计算函数导数

$$f'(z)=\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}$$

通过 C-R 方程还可以得到另外 3 个变形

调和函数

对于二元实函数 $f(x,y)$
如果满足

$$\frac{\partial^2 f}{\partial^2 x}+\frac{\partial^2 f}{\partial^2 y}=0$$

则称 $f(x,y)$ 为调和函数

共轭调和函数

设调和函数 $f(x,y)$ 与 $g(x,y)$
如果函数满足

$$\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\partial g}{\partial y}\;,\;\;\frac{\partial f}{\partial y}=-\frac{\partial g}{\partial x}$$

则称 $f(x,y)$ 的共轭调和函数是 $g(x,y)$
(求共轭调和函数前需要先验证 $f(x,y)$ 是调和函数)

将 $f(x,y)$ 作为实部, $g(x,y)$ 作为虚部得到的函数为解析函数

求共轭调和函数

已知 $f(x,y)$ 求 $g(x,y)$ 时(或相反), 仅知道 $g(x,y)$ 的全微分(通过柯西方程), 反向求 g(x,y) 时, 必定会产生一个未知的常数 C, 需要通过初始条件确定