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级数

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级数

复数项级数

任意级数收敛的必要条件

lim⁡n→∞zn=0 \lim_{n\to\infty}z_n=0

任意级数收敛的充要条件

对于 $$z_n=x_n+iy_n$$ 级数 ∑i=0∞xi\sum_{i=0}^{\infty}x_i 与 ∑i=0∞yn\sum_{i=0}^{\infty}y_n 均收敛

条件收敛与绝对收敛

  1. 若 ∑i=0∞∣zi∣\sum_{i=0}^{\infty}|z_i| 收敛, 则 ∑i=0∞zi\sum_{i=0}^{\infty}z_i 收敛, 成为绝对收敛
  2. 若仅有 ∑i=0∞zi\sum_{i=0}^{\infty}z_i 收敛, 则称为条件收敛
  3. 注意 ∣zi∣|z_i| 为取模运算

判别法补充

比阶判别法

lim⁡n→∞npan=l \lim_{n\to\infty}n^pa_n=l

lim⁡n→∞an∼lim⁡n→∞n−p \lim_{n\to\infty}a_n\sim\lim_{n\to\infty}n^{-p}

  • 级数 ∑1n\sum\frac{1}{n} 发散
  • 要求极限结果 ll 存在
  • p>1  0≤l<∞p>1\;0\le l<\infty 级数收敛
  • p≤1  0<l≤∞p\le1\;0<l\le\infty 级数发散
  • 通过寻找 ana_n 的等价无穷小判断p

莱布尼兹判别法

ana_n 为正项级数 当 ∣an∣|a_n| 严格单调递减且收敛于0时有

∑(−1)nan=S \sum(-1)^na_n = S

收敛, 且S≤a0S\le a_0

幂级数

S=∑i=0∞Ci(z−z0)i S=\sum_{i=0}^{\infty}C_i(z-z_0)^i

收敛半径

存在一个正整数 R 使得

  1. 级数 SS 在 C:∣z−z0∣=RC:|z-z_0|=R 内绝对收敛
  2. 在 CC 外发散
  3. 在 CC 上敛散性不确定
  4. 级数条件收敛的点必定在 CC 上

收敛半径求法

  1. 比值法

lim⁡n→∞∣Cn+1Cn∣=λ=1R \lim_{n\to\infty}|\frac{C_{n+1}}{C_n}|=\lambda=\frac{1}{R}

  1. 根值法

lim⁡n→∞Cnn=λ=1R \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{C_n}=\lambda=\frac{1}{R}

  • 注意 CnC_n 为幂级数的常数项, 计算时不可将幂级数项整个带入

幂级数性质

  1. 幂级数的和函数 f(z)f(z) 在收敛圆内部解析
  2. 幂级数的和函数 f(z)f(z) 在收敛圆内可以逐项积分与求导
  3. 两个幂级数相加/乘中, 收敛半径为两级数收敛半径中较小的
  • 对于 zn=cosnz_n=cos n 的收敛半径即可拆分为 ein2\frac{e^{in}}{2} 与 e−in2\frac{e^{-in}}{2}

泰勒级数

泰勒定理

设 f(z)f(z) 于 DD 内解析, DD 内一点 z0z_0 到边界的最短距离为 RR, 则在 C:∣z−z0∣=RC:|z-z_0|=R 内部满足

f(z)=∑n=0∞Cn(z−z0)i f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}C_n(z-z_0)^i

其中

Cn=1n!f(n)(z0) C_n=\frac{1}{n!}f^{(n)}(z_0)

形式与实变函数相同, 注意系数 1n!\frac{1}{n!} 当函数能在 z0z_0 的领域内展开, 表明函数在 z0z_0 解析

泰勒展开

重要展开

  1. ez=∑n=0∞znn! e^z=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{n!}

  2. 11−z=∑n=0∞zn(∣z∣<1) \frac{1}{1-z}=\sum_{n=0}^{\infty}z^n (|z|<1)

展开方法

  1. 对于 z0≠0z_0\neq 0 的情况下注意将 z−z0z-z_0 视为一个整体
  2. 求复杂泰勒展开时, 可对各项积分/求导, 积分时以 z0z_0 为下限
    • 注意 (11−z)′=−−1(1−z)2=1(1−z)2(\frac{1}{1-z})'=-\frac{-1}{(1-z)^2}=\frac{1}{(1-z)^2}
  3. 当 f(z)f(z) 于 DD 内有奇点时, RR 为 DD 内一点 z0z_0 到边界或奇点的最短距离
  4. 展开前提出 z−z0z-z_0 前的常数项, 指数函数将指数加减化为系数, 三角函数则使用公式展开
  5. 可以将完整的 (z−z0)n(z-z_0)^n 作为常数项提出后再展开

洛朗级数

设函数在圆环 R1<∣z−z0∣<R2R_1<|z-z_0|<R_2 处处解析, 则函数满足

f(z)=∑n=−∞∞Cn(z−z0)n f(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}C_n(z-z_0)^n

Cn=12πi∮Cf(ξ)(ξ−z0)n+1dξ C_n=\frac{1}{2\pi i}\oint_C\frac{f(\xi)}{(\xi-z_0)^{n+1}}d\xi

  • 与高阶求导公式不同, CnC_n 可以取负值
  • 联系泰勒级数, 泰勒级数中导数还要除去 n!n!, 因此 CnC_n 也在高阶求导公式基础上除去了 n!n!

洛朗级数展开

  1. 泰勒级数为洛朗级数的特殊情况, 展开方法相同
  2. 洛朗级数中还允许直接将 1z−z0\frac{1}{z-z_0} 视为整体展开
  3. 展开 f(z)f(z) 先找出所有奇点, 并对展开区域分段为 R1<∣z−z0∣<R2R_1<|z-z_0|<R_2 保证奇点均在环上(环上的点不会被取到)
  4. 使用 11−z\frac{1}{1-z} 作为展开公式时, 保证 z−z0<1z-z_0<1 否则将 1z−z0\frac{1}{z-z_0} 作为展开项
  5. 当 f(z)f(z) 有奇点 00 时(即展开点 z0z_0 为奇点), 最小的环域为 0<∣z−z0∣<R00<|z-z_0|<R_0
  6. 在 z0z_0 点展开并不是说取 z=z0z=z_0 的函数值, 而是以 z0z_0 为中心做环域展开. 如果 z0z_0 为奇点, 则第一个环域为 0<∣z−z0∣<R10<|z-z_0|<R_1, R1R_1 为下一个最近奇点的距离, 环域不取 z0z_0