留数

孤立奇点

$f(z)$ 在 $z_0$ 处不解析, 但在其邻域内处处解析, 则称 $z_0$ 为 $f(z)$ 的孤立奇点

无穷多个的孤立奇点

对于周期函数 $tan z,\cos z,\sin z,e^z$, 可能会有无穷多个孤立奇点, 并构成序列 $a_i$, 当 $\lim_{i\to\infty}a_i=z_k$, 则 $z_k$ 不是函数的孤立奇点
eg. 对于 $f(z)=\frac{1}{\sin\frac{1}{z}}$ 有孤立奇点 $a_i=\frac{1}{i\pi}$,且满足 $\lim_{i\to\infty}a_i=0$, 因此 0 不是 $f(z)$ 的孤立奇点

孤立奇点分类

对于奇点 $z_0$

1. 可去奇点 对于一切 $n<0$ 有 $C_n=0$, 令 $f(z_0)=C_0$, 奇点去除
2. k 阶极点 当 $n<-k$ 时 $C_n=0$ 且 $C_k\neq 0$
3. 本性奇点 有无限个整数 $n$, 使 $C_n\neq 0$

孤立奇点的判定

对于奇点 $z_0$, $lim_{z\to z_0}f(z)=m$

1. 可去奇点 $m$ 为常数, 且 $C_0=m$
2. 极点 $m=\infty$
3. 本性奇点 $m$ 不存在

• 对于 $lim_{z\to 0}\frac{1}{z}$, 正向逼近与反向逼近结果为 $\pm\infty$. 认为极限均为 $\infty$, 即无穷远点, 部分正负号. $tan\pi/2$ 同
• 对于 $lim_{z\to 0}e^{tan z}$, 具体带入后, 正向逼近与反向逼近结果为 $0, \infty$, 极限不存在

极点与零点

$\varphi(z)$ 为在 $z_0$ 处解析的解析函数且 $\varphi(z_0)\neq 0$

k 阶极点的充要条件

当 $z_0$ 为 $f(z)$ 极点

$$f(z)=\frac{\varphi(z)}{(z-z_0)^k}$$

k 阶零点的定义

当 $z_0$ 满足 $f(z_0)=0$ 且

$$f(z)=\varphi(z)(z-z_0)^k$$

$$f^{(k)}\neq 0, f^{(m)}=0(m=1,2,...,k-1)$$

当解析函数不恒为零时, 其零点必然孤立

k 阶极点的求法

当 $z_0$ 为 $f(z)$ k 阶极点, 则 $z_0$ 为 $\frac{1}{f(z)}$ k 阶零点, 通过求导法求出零点阶数, 即可得到极点阶数

留数与极限

对于 $P(z_0)=Q(z_0)=0$

$$f(z)=\frac{P(z)}{Q(z)}$$

求含超越函数的孤立奇点类型时, 如果确定非本性奇点后, 可进行泰勒展开

$$\lim_{z\to z_0}\frac{A(z-z_0)^n+o[(z-z_0)^n]}{B(z-z_0)^m+o[(z-z_0)^m]}$$

则有

$$\begin{cases}n-m\ge 0&,\text{可去奇点}\\n-m<0&,m-n\text{阶极点}\end{cases}$$

无穷远处的奇点

认为无穷远是所有函数的奇点, 但不一定是孤立奇点(见无穷多个孤立奇点) 判断孤立奇点类型时, 直接判断 $lim_{z\to \infty}f(z)=m$

留数

当 $z_0$ 为 $f(z)$ 孤立奇点, 且包含在曲线 $C$ 内, 则有(根据洛朗展开与积分公式可得)

$$\oint_C f(z)dz=2\pi i C_{-1}$$

则定义 $$Res[f(z), z_0]=C_{-1}$$

留数积分公式

当 $z_i$ 为 $f(z)$ 孤立奇点, 且包含在曲线 $C$ 内

$$\oint_C f(z)dz=2\pi i \sum_{i=1}^n Res[f(z), z_i]$$

注意系数 $2\pi i$

非极点的留数

1. 可去奇点 留数为 0
2. 本性奇点 留数通过洛朗展开得到(解答时不用完整写出展开式)

本性奇点的留数

1. 求本性奇点的留数时, 需要将各项展开为洛朗级数, 如果为洛朗级数相乘, 则将其中指数之和为 $-1$ 的项相乘
2. 如果有无限个指数之和为 $-1$ 的项, 则按顺序写出, 并寻找其能否化为 $e$, $\frac{1}{1-z}$ 的形式(递增的阶乘倒数之和/幂级数), 并化为 $e/e^{-1}$, 否则保留原型式

• eg.

$$Res[\frac{z^3e^{\frac{1}{z}}}{1+z},0]$$

首先对 $^{\frac{1}{z}}$ 与 $\frac{1}{1+z}$ 分别取洛朗展开有

$$z^3(1+z^{-1}+2!z^{-2}+3!z^{-3}+4!z^{-4}+...)(1-z+z^2-z^3+z^4+....)$$

其中为 $z^{-1}$ 项系数之和有(注意正负号与最前面的 $z^3$)

$$4!-5!+6!-7!+...$$

与

$$e^{-1}=1-1!+2!-3!+4!-....$$

比较得到结果

$$Res[\frac{z^3e^{\frac{1}{z}}}{1+z},0]=e^{-1}-\frac{1}{3}$$

极点的留数

简单(一阶)极点

$$Res[f(z),z_0]=\lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z)$$

k 阶极点

$$Res[f(z),z_0]=\lim_{z\to z_0}\frac{1}{(k-1)!}\frac{d^{(k-1)}}{dz^{(k-1)}}[(z-z_0)^kf(z)]$$

分式函数的极点

设 $P(z)$ 与 $Q(z)$ 在 $z_0$ 解析, 且 $P(z)\neq 0$, $z_0$ 为 $Q(z)$ 一阶零点

$$f(z)=\frac{P(z)}{Q(z)}$$

则 $z_0$ 为 $f(z)$ 一阶极点, 且留数满足

$$Res[f(z),z_0]=\frac{P(z_0)}{Q'(z_0)}$$

可用于计算 $Q(z)=\cos z, \sin z$ 等时的留数

无穷远处的极点

$C$ 为一个足够大的曲线, 包围了 $f(z)$ 所有的奇点, 则

$$Res[f(z),\infty]=\frac{1}{2\pi i}\oint_{C^-}f(z)dz$$

注意积分路径为 $C$ 的反向, 也可视为洛朗级数中最大的环域 注意, 无穷远为可去奇点时, 其留数不一定为 0

无穷远点留数的性质

$f(z)$ 有有限个孤立奇点 $z_k$, 则满足

$$\sum_{k=1}^\infty Res[f(z), z_k]+Res[f(z),\infty]=0$$

无穷远点留数的求法

注意其中的负号

$$Res[f(z),\infty]=-Res[f(\frac{1}{z})z^2,0]$$

当其中一个奇点难以求解时, 可通过上两个公式解出

留数积分公式

三角函数型

对于

$$I=\int_{0}^{2\pi}R(\sin \theta,\cos \theta)d\theta$$

其中 $R(\sin \theta,\cos \theta)$ 为有理分式

积分方法

令 $z=e^{i\theta}$, 有

$$\sin\theta=\frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}=\frac{z^2-1}{2iz}$$

$$\cos\theta=\frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}=\frac{z^2+1}{2z}$$

$$dz=ie^{i\theta}d\theta=izd\theta$$

则有

$$I=\oint_{|z|=1}R(\frac{z^2-1}{2iz},\frac{z^2+1}{2z})\frac{dz}{iz}$$

1. 注意 $dz$ 下的系数 $iz$
2. 之后使用留数积分公式得到结果
3. 对于积分域 $-\pi<\theta<\pi$ 同样成立
4. 对于积分域 $0<\theta<\pi$, 当为偶函数时, 可化为上一条情况(需要乘上 $\frac{1}{2}$)
5. 对于 4 中的情况下, 如果可以化为 $R(\sin 2\theta,\cos 2\theta)$, 则先使用 $\varphi=2\theta$ 代换, 同时积分域扩大

有理分式的广义积分

设多项式函数 $P(x)$ 与 $Q(x)$, $R(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}$ 满足

1. $Q(x)$ 比 $P(x)$ 至少高两次
2. $Q(x)$ 在实轴上无零点
3. $R(z)$ 在上半平面有奇点 $z_k(k=1,2,...,n)$ 则有积分公式

$$\int_{-\infty}^{\infty}R(x)dx=2\pi i\sum_{k=1}^{n}Res[R(z),z_k]$$

• 对于积分域为 $0<x<\infty$ 时,偶函数可化为上式, (需要乘上 $\frac{1}{2}$)

有理分式与指数函数的广义积分

设多项式函数 $P(x)$ 与 $Q(x)$, $R(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}$, $f(z)=R(z)e^{i\alpha z}$ 满足

1. $Q(x)$ 比 $P(x)$ 至少高一次
2. $Q(x)$ 在实轴上无零点
3. $f(z)$ 在上半平面有奇点 $z_k(k=1,2,...,n)$ 则有积分公式

$$\int_{-\infty}^{+\infty}R(z)e^{i\alpha z}dz=2\pi i\sum_{k=1}^{n}Res[R(z)e^{i\alpha z},z_k]$$

• 根据 $e^{i\alpha z}=\cos(\alpha z)+i\sin(\alpha z)$ 可得

$$\int_{-\infty}^{+\infty}R(z)e^{i\alpha z}dz=\int_{-\infty}^{+\infty}R(z)\cos({\alpha z})dz+i\int_{-\infty}^{+\infty}R(z)\sin(\alpha z)dz$$

因此此公式也可用于求解含有理分式与三角函数的广义积分

• 注意含 $\sin$ 项的积分结果不含 $i$, 为实数, 应为积分的虚部