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复数及其基本定义

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复数及其基本定义

复数运算

比较

两个虚部不为 0 的复数不能比较大小

乘法

几何意义: 两个复数角度之和, 模长之积

除法

z1z0=z1z0‾z0z0‾=z1z0‾x02+y02 \frac{z_1}{z_0}=\frac{z_1\overline{z_0}}{z_0\overline{z_0}}=\frac{z_1\overline{z_0}}{x_0^2+y_0^2}

共轭

  1. 对于加减乘除均运算满足

z0±z1‾=z0‾±z1‾ \overline{z_0\pm z_1} = \overline{z_0}\pm\overline{z_1}

  1. zz‾=x2+y2 z\overline{z}=x^2+y^2

  2. Rez=12(z+z‾) Rez=\frac{1}{2}(z+\overline{z})

  3. Imz=12i(z−z‾) Imz=\frac{1}{2i}(z-\overline{z})

复数三角表示

辐角

将复数对应向量与实轴正方向的夹角记为辐角 ArgzArgz
ArgzArgz 为多值函数
其中 z=0z=0 与 z=∞z=\infty 辐角无意义

主辐角

辐角中取 argz∈(−π,π]argz\in(-\pi,\pi] 为主辐角, 为单值函数 满足

Argz=argz+2kπ(k∈Z) Argz=argz+2k\pi(k\in\Z)

计算

利用

arctanyx∈(−π2,π2) arctan\frac{y}{x}\in(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})

计算辐角, 注意范围外通过画图确定具体值

三角不等式

拆分含取模运算的不等式

  1. ∣z1∣−∣z2∣≤∣z1−z2∣ |z_1|-|z_2|\le|z_1-z_2|

  2. ∣z1+z2∣≤∣z1∣+∣z2∣ |z_1+z_2|\le|z_1|+|z_2|

  3. ∣z1∣−∣z2∣≤∣z1±z2∣≤∣z1∣+∣z2∣ |z_1|-|z_2|\le|z_1\pm z_2|\le|z_1|+|z_2|

三角表示

z=r(cos⁡θ+isin⁡θ)=reiθ z=r(\cos\theta+i\sin\theta)=re^{i\theta}

含乘法计算时, 可转换为指数表示简化运算

乘方运算

  1. 乘方 使用乘法法则得
  2. 开方

∵θ=argz+2kπ \because\theta=argz+2k\pi

∴θn=argzn+2kπn \therefore\frac{\theta}{n}=\frac{argz}{n}+\frac{2k\pi}{n}

对复数 zz 开 nn 次方得到 nn 个结果, kk 取 0,1,...,n−10,1,...,n-1

平面点集概念

G 为一个平面点集

内点

z0z_0 为 G 内一个点, 且 z0z_0 的邻域均在 G 内, 则 z0z_0 为 G 的内点

边界点

z0z_0 为平面上任意一点, 且 z0z_0 的任一邻域既在 G 内, 也在 G 外, 则 =z0z_0 为 G 的边界点

孤立点

z0z_0 为 G 内一个点, 且 z0z_0 的去心邻域均在 G 外, 则 z0z_0 为 G 的孤立

有/无界集

以一个点为中心的圆能完全包含 G, 则 G 为有界点

开集

G 内的每个点都是内点, 则 G 为开集(没有边界与孤立点)

闭集

平面上不属于 G 的点的集合(余集)为开集, 则 G 为闭集
(可能存在边界不完全的非开非闭集)

区域

将单连通的开集 DD 称为区域
DD 与其边界构成闭区域 D‾\overline{D}

平面曲线

使用 z(t)=x(t)+iy(t)(t∈C)z(t)=x(t)+iy(t)(t\in C) 表示一条平面曲线
注意曲线的方向与 tt 的范围

光滑曲线

当曲线满足

[x′(t)]2+[y′(t)]2≠0 [x'(t)]^2+[y'(t)]^2\neq0

则 z(t)z(t) 为光滑曲线
eg. 曲线 z=t2+it3z=t^2+it^3 在 t=0t=0 不光滑

两点连线

由 z1(x1,y1)z_1(x_1,y_1) 到 z2(x2,y2)z_2(x_2,y_2) 的有向线段

z(t)=z1+t(z2−z1)(t∈[0,1]) z(t)=z_1+t(z_2-z_1)(t\in[0,1])

圆弧

z(θ)=reiθ(θ∈[0,2π)) z(\theta)=re^{i\theta}(\theta\in[0,2\pi))

平面曲线转为复平面曲线

对于曲线 f(x,y)=0f(x,y)=0, 可带入

x=12(z+z‾) x=\frac{1}{2}(z+\overline{z})

y=12i(z−z‾) y=\frac{1}{2i}(z-\overline{z})

Z 点的轨迹

  1. 使用参数法时必须指出参数 tt 的范围
  2. 注意轨迹的方向
  3. argzarg z 只能表示一个方向的射线, 不能表示直线
  4. 含未知参数(特别是还有取模时)要讨论

eg. 轨迹

∣z+a∣2=∣a∣2−b |z+a|^2=|a|^2-b

在 ∣a∣2−b<0|a|^2-b < 0 时无意义

无穷远点

  1. 无穷远点实部与虚部无意义
  2. 无 +∞+\infty / −∞-\infty 的概念
  3. ∣∞∣=+∞|\infty|=+\infty
  4. 无穷远点辐角无意义

极限

对于函数 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)f(z)=u(x,y)+iv(x,y) 存在 lim⁡z→z0f(z)=A\lim_{z\to z_0} f(z)=A 的充要条件为

limp→(x0,y0)u(x,y)=u0 lim_{p\to(x_0,y_0)}u(x,y)=u_0

limp→(x0,y0)v(x,y)=v0 lim_{p\to(x_0,y_0)}v(x,y)=v_0

极限求法

  • limp→(x0,y0)u(x,y)=u0 lim_{p\to(x_0,y_0)}u(x,y)=u_0

limp→(x0,y0)v(x,y)=v0 lim_{p\to(x_0,y_0)}v(x,y)=v_0

任意一个极限不存在, 复数极限不存在

  • 令 z=reiθz=re^{i\theta}, 则当 r→0r\to 0 时, 结果与 θ\theta 无关
  • 洛必达法则

连续性

对于 D‾\overline{D} 上的连续函数 f(z)f(z), 有

  1. 函数在 D‾\overline{D} 上有界
  2. 函数在 D‾\overline{D} 上能取得最大值与最小值