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复变函数的积分

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复变函数的积分

积分计算

  • 直接计算

∫Cf(z)dz=∫C[u(x,y)+iv(x,y)](dx+idy)=∫Cu(x,y)dx−v(x,y)dy+i∫Cu(x,y)dy+v(x,y)dx \begin{split}\int_C f(z)dz&=\int_C [u(x,y)+iv(x,y)](dx+idy)\\&=\int_C u(x,y)dx-v(x,y)dy+i\int_C u(x,y)dy+v(x,y)dx\end{split}

  • 参数方程 找到 CC 的参数方程 C:z(t)=x(t)+iy(t)(t∈(a,b))C:z(t)=x(t)+iy(t)(t\in(a,b))

∫Cf(z)dz=∫abf(z(t))z′(t)dt \int_C f(z)dz=\int_a^b f(z(t))z'(t)dt

其中 CC 的正方向为 t=a→bt=a\to b

  • 重要结论 对于任意围住 z0z_0 的曲线 CC

∮Cdz(z−z0)n={2πi,n=10,n≠1 \oint_C\frac{dz}{(z-z_0)^n}=\begin{cases}2\pi i&,n=1\\0&,n\neq 1\end{cases}

其中 n∈Zn\in Z, 当 k=−n>0k=-n>0 有 ∮C(z−z0)kdz=0\oint_C(z-z_0)^kdz=0

估值不等式

设 f(z)f(z) 在 CC 上的最大值为 MM, CC 长度为 SS

∣∫Cf(z)dz∣≤∫C∣f(z)∣ds≤ML |\int_C f(z)dz|\le\int_C |f(z)|ds\le ML

补充 与取模运算有关的不等式

  1. ∣z∣<r→∣zn∣=∣z∣n<rn |z|<r\to |z^n|=|z|^n<r^n

  2. ∣z1∣−∣z2∣≤∣z1−z2∣ |z_1|-|z_2|\le|z_1-z_2|

  3. ∣z1+z2∣≤∣z1∣+∣z2∣ |z_1+z_2|\le|z_1|+|z_2|

  4. ∣i∣=1 |i|=1

  5. ∣ez∣=∣exeiy∣=∣ex∣(∣eiy∣=1) |e^z|=|e^xe^{iy}|=|e^x|(|e^{iy}|=1)

柯西积分定理

  1. 函数 f(z)f(z) 在单连域 DD 内解析, 则 f(z)f(z) 沿 DD 内任意一条闭曲线积分为 0
  2. 沿 1 中的 DD 内任意两点连线积分结果相同, 与路径无关
  3. 设曲线 C1C_1 与 C2C_2, C1C_1 在 C2C_2 内部, f(z)f(z) 在 C1C_1 与 C2C_2 围成的区域内解析, 在 C1C_1 与 C2C_2 上连续则沿 C1C_1 与 C2C_2 积分结果相同 即解析函数环绕不解析区域/奇点的积分结果与闭路路径无关
  4. 当 CC 围成的区域内有多个不解析区域/奇点时, 使用任意不相交的曲线 C1,C2,...CnC_1,C_2,...C_n 分别包围则

∮Cf(z)dz=∑i=1n∮Cif(z)dz \oint_C f(z)dz=\sum_{i=1}^n\oint_{C_i} f(z)dz

  1. 由定理 2 得, 在 D 内积分可直接表示为

∫z0z1f(z)dz \int_{z_0}^{z_1}f(z)dz

柯西积分公式

设 f(z)f(z) 在 CC 内解析, CC 上连续; z0z_0 在 CC 内

∮Cf(z)dzz−z0=2πif(z0) \oint_C\frac{f(z)dz}{z-z_0}=2\pi i f(z_0)

表明解析函数在某一点的值仅与其周围的值有关

平均值公式

由于 C:∣z−z0∣=RC:|z-z_0|=R

f(z0)=12π∫02πf(z0+Reiθ)dθ f(z_0)=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}f(z_0+Re^{i\theta})d\theta

表明 f(z)f(z) 在圆 CC 上的平均值为 f(z0)R\frac{f(z_0)}{R}

最大模定理

当 f(z)f(z) 在区域(区域没有边界) DD 内解析, 且 f(z)f(z) 不是常数, 则 ∣f(z)∣|f(z)| 在 DD 内取不到最大值
求函数的最大值 / 不等式的左侧一定出现在边界上

解析函数的高阶导数

  1. 解析函数的任意阶导数仍为解析函数
  2. 设 f(z)f(z) 在 CC 内解析, CC 上连续; z0z_0 在 CC 内

2πin!f(n)(z0)=∮Cf(z)dz(z−z0)n+1 \frac{2\pi i}{n!} f^{(n)}(z_0)=\oint_C\frac{f(z)dz}{(z-z_0)^{n+1}}

将 z0z_0 视为自变量, 即得到 f(z)f(z) 高阶导数的表达式 3. 设函数 f(z)f(z) 在 ∣z−z0∣<R|z-z_0| < R 内解析, 且 ∣f(z)∣≤M(∣z−z0∣<R)|f(z)|\le M(|z-z_0| < R), 则一下不等式成立

∣f(n)(z0)∣≤n!MRn |f^{(n)}(z_0)|\le\frac{n! M}{R^n}

通过结合高阶求导公式与估值公式得到

刘维尔定理

设 f(z)f(z) 全平面解析且有界, 则 f(z)f(z) 为常数