初等复变函数

指数函数

$f(z)=e^z$

解析性

指数函数在全平面解析 在扩充复平面上, 指数函数在 $z=\infty$ 不存在

周期性

指数函数以 $2\pi i$ 为周期

值域

$$\because e^{x+yi}=e^xe^{yi}\\\therefore e^z \neq 0$$

除 0 外, 指数函数可能取任意值

对数函数

$f(z)=Lnz=\ln |z|+i Arg z,\; z\neq 0$

由于 $e^z$ 的周期性, 指数函数为多值函数 将 $\ln z$ 记为 $Lnz$ 的主值 有 $\ln z=\ln |z|+i arg z$

运算性质

$$Ln(z_1z_2)=Ln(z_1) + Ln(z_2)$$

$$Ln(\frac{z_1}{z_2})=Lnz_1-Lnz_2$$

由于 $Lnz$ 为多值函数, 必须以集合的方式理解

$$Ln(z_1z_2)=Ln(z_1) + Ln(z_2)$$

表示 $Ln(z_1)$ 与 $Ln(z_2)$ 结果构成的集合内的任意两个元素之和一定属于 $Ln(z_1z_2)$ 结果构成的集合

因此 $Ln(z^2)\neq 2Ln(z)$

解析性

就主值 $\ln z$ 及 $Lnz$ 的各分支, 在除去原点与复实轴的复平面上解析 在原点及复实轴上不连续不可导

幂函数

$$f(z)=z^n$$

n 为正整数

此时 $z^n$ 在复平面上解析

n 为负整数

此时 $z^n$ 在复平面上除 $0$ 外的点解析

n 为 简单分数

当 n 为 $\frac{1}{p}(p\in Z)$, 此时 n 为多值函数(开方运算), 具有 p 个不同的结果

$$w=z^{\frac{1}{p}}=e^{\frac{\ln |z|+i arg z + 2k\pi i}{p}}(k=0,1,...,p-1)$$

由于计算时将 $z$ 使用 $e^{\ln |z|+i arg z}$ 表示, 可知函数同 $Lnz$, 在原点及复实轴上不连续不可导

n 为复杂分数

n 为 $\frac{p}{q}(p,q\in Z)$时, 同上面一种情况, 具有 p 个不同的结果

n 为无理数或复数

为无穷多值函数, 在原点及复实轴上不连续不可导

运算规则

由于 n 的不同取值, 幂函数的特性不同, 因此部分幂函数的运算法则不再成立

$$(a^b)^c\neq a^{bc}$$

当 b 为分数时, $a^b$ 为多值函数, 显然不成立

三角函数

$$\cos z=\frac{1}{2}(e^{iz}+e^{-iz})$$

$$\sin z=\frac{1}{2i}(e^{iz}-e^{-iz})$$

解析性

同 $e^z$, 在复平面内解析

值域

不同于实变形式

$$\exist z,\;|\sin z|> 1$$

$$\exist z,\;|\cos z|> 1$$

值域为复平面(无界)

$\sin^2 z$ 与 $\cos^2 z$ 也不总是非负