对流换热

基本原理

表面传热与对流换热的微分方程

壁面上的流体相对壁面静止, 流速为 $0$, 其上的热流量仅能通过热传导的方式传递到壁面内
假设流体位于 $y>0$ 部分, $y<0$ 部分为壁面
在 $y=0$ 处, 流体与壁面间的热流满足

$$q_c=-\lambda_f\frac{\partial t}{\partial y}\big|_{y=0}=h(t_w-t_\infty)=q_w$$

注意

• 方程以壁面到流体方向为热流密度的参考方向
• 方程左侧 $q_c$ 为壁面流体的热流密度, 因此使用的是流体的导热系数 $\lambda_f$, 右侧为壁面的对流换热热流量 $q_w$
• 该方程可用于定性地判断流体内的温度分布 (边界温度为 $t_w$, 中心大部分流体温度为 $t_\infty$)

层流换热微分方程组

连续性方程

$$\nabla\vec{v}=0$$

动量方程

即流体力学的 $n-s$ 方程

$$\vec{f}-\frac{1}{\rho}\nabla p+\nu\nabla^2\vec{v}=(\vec{v}\cdot\nabla)\vec{v}+\frac{\partial \vec{v}}{\partial \tau}$$

能量方程

能量方程与导热微分方程类似, 但流体中使用的是温度的物质导数

$$\rho c_p[\frac{\partial t}{\partial \tau}+(\vec{v}\cdot\nabla)t]=\lambda\nabla^2 t$$

量纲分析

凡同类现象, 单值性条件相似, 同名已定特征数相等, 那么现象必定相似
因此如果两个现象彼此相似, 它们的同名准则数必然相等

特征量选取

在对微分方程组进行无量纲化时, 需要先选定对应变量的特征值
对于不同的问题选取的特征量不同

最基本的特征量为特征长度 $L$, 特征流速 $u$, 定性温度 $t_m$
以下为特征量选取的一般规律

1. 特征长度 $L$
   • 流体平行流过平板选择沿流动方向上的长度尺寸
   • 管内流体流动选择垂直于流动方向的管内直径
   • 流体绕流圆柱体流动选择流动方向上的圆柱体外直径
   • 对于复杂物体则使用根据面积与体积导出的当量尺寸
2. 特征流速 $u$
   • 流体流过平板, 来流速度被选择为特征流速
   • 流体管内流动, 管子截面上的平均流速可作为特征流速
   • 流体绕流圆柱体流动, 来流速度可选择为特征流速
3. 定性温度 $t_m$
   • 外部流动常选择来流流体温度和固体壁面温度的算术平均值
   • 内部流动常选择管内流体进出口温度的平均值
4. 其他特征参数
   • 对于仅与温度及工质有关的特征参数, 选取定性温度 $t_m$ 下的值 (查表)
   • 对于有下标 $x$ 的特征参数, 选取对应状态温度 $t_x$ 下的值

常用无量纲准则数

现有如下的常用准则数
注意准则数计算时应带入特征量

名称	含义	表达式	备注
雷诺数	$Re=\dfrac{uL}{\nu}$	流场惯性力与粘性力之比 (来自流体动量方程)	多用于强制对流
普朗特数	$Pr=\dfrac{\nu}{a}$	动量扩散能力 (黏性 $\nu$) 与 热量扩散能力之比 (热扩散率 $a=\frac{\lambda}{\rho c}$)	通常仅与工质与温度有关 因此也可视为状态参数
努塞尔数	$Nu=\dfrac{hL}{\lambda}$	流场换热 ($h$) 与导热能力 ($\frac{\lambda}{L}$) 之比 推导自 表面传热与对流换热的微分方程	用于求解 $h$ 其含义不同于毕渥数 $Bi$
格拉晓夫数	$Gr=\dfrac{g\beta\theta_w L^3}{\nu^2}$	浮升力 ($\sqrt{g\beta\theta_w L^3}$) 与粘性力 ($\nu$) 之比 其中 $\beta$ 为体积膨胀系数, $\theta$ 为温差	多用于自然对流 通常 $\beta=\frac{1}{T_m}$

常用参数下标含义

为了后续公式讨论, 现规定如下的下标含义

下标	含义	举例	备注
无下标	特征量	特征长度 $L$, 特征运动黏性 $\nu$
$w$	壁面参数	壁面温度 $t_w$
$\infty$	对流参数	对流温度 $t_\infty$, 对流速度 $u_\infty$	通常用于一般对流换热
$f$	流体参数	流体温度 $t_f$, 流体速度 $u_f$	通常用于管道流动 无说明时认为与对流参数相同
$m$	定性参数	定性温度 $t_m$, 定性速度 $u_m$	通常为平均值

相似性原理使用

• 对于换热实验, 可令实验与模型的努塞尔准则数 $Nu$ 相同, 预测实验与模型的对流换热系数 $h$
• 对于强制对流换热, 有关系式 $Nu=cRe^mPr^n$
• 对于自然对流换热, 有关系式 $Nu=cGr^mPr^n$

以上关系式中的参数 $c,m,n$ 均可通过实验获取, 实验时注意 (以强制对流换热为例)

1. 对公式取对数后有 $\lg Nu=\lg c+m\lg Re+n\lg Pr$, 可将指数关系转换为线性关系
2. 处理实验数据时 (计算器可完成最小二乘法)
   1. 首先固定 $Pr$, 实验各个 $Nu$ 对应的 $Re$, 通过最小二乘法得到 $Nu=c_1Re^n$
   2. 然后实验多组 $Pr$ 下对应的 $c_1=\frac{Nu}{Re^n}$, 通过最小二乘法得到 $c_1=cPr^m$
3. 对于实验得到的系数, 仅能对实验范围内的 $Pr,Re$ 与几何参数使用
4. 使用公式时, 特征值选取方式与实验的要相同

边界层理论

将流体靠近壁面的, 参数接近壁面的部分定义为边界层
认为导热过程主要发生在边界层上, 因此边界层厚度越大, 表面换热系数 $h$ 越小, 换热能力越差

通过引入边界层, 忽略边界层外的稳定流动区域, 简化对流换热微分方程, 便于求解

速度边界层

定义速度边界层为垂直于壁面的方向上流体流速发生显著变化的流体薄层
速度边界层的厚度 $\delta(x)$ 满足 $u(\delta)/u_\infty=0.99$

边界层理论中, 假设边界层厚度极小 $Y=\delta\ll X$, 因此使用边界层理论时要求雷诺数 $Re$ 不能过小

热边界层

同理, 定义热边界层为壁面上方也能形成温度发生显著变化的薄层
热边界层的厚度 $\delta_t(x)$ 满足 $(t_w − t)/(t_w − t_\infty) = 0.99$

热边界层在普朗特数 $Pr\ge 1$ 时厚度小于等于速度边界层, 满足边界层假设
当 $Pr\ll 1$ 时, 不可使用边界层理论

平板边界层变化规律

• 对于不同的流动状态边界层厚度不同, 通常层流的边界层厚度大于湍流
  因此使用公式时必须求出 $Re$ 明确流体状态, 不同流体状态下公式不同
• 对于层流流动, 由于中心流速加快, 边界层均会随流速增快而增厚; 湍流同, 但变化极小
• 对于平板, 流体状态随流动位置 $x$ 不断由层流向稳流发展, 因此边界层厚度 $\delta$ 与位置 $x$ 有关

努塞尔数计算公式

根据边界层理论与实验, 可得到如下常用的努塞尔数计算公式
通过努塞尔数即可得到表面传热系数 $h$ 用于后续计算

平板对流换热

定性分析

平板上流体层流与紊流的临界雷诺数为 $Re=5\times 10^5$

表面传热系数变化见平板边界层变化规律小节插图

由于平面上雷诺数随位置变化, 因此通常计算的是平均状态下的努塞尔数 $Nu$

特征选取

特征量	选取方法
特征长度 $L$	平板主流方向长度 $L$
速度特征 $u$	强制对流速度 $u=u_\infty$
定性温度 $t_m$	对流温度与壁面温度的均值 $t_m=(t_w+t_\infty)/2$

常用公式

恒定壁温, 平板全长均为层流状态下
全板长平均表面努塞尔数为

$$Nu=0.664 Re^{1/2}Pr^{1/3}$$

使用条件 $0.6<Pr<50, Re<5\times 10^5$

---

恒定壁温, 湍流在平板前缘就形成的状态下
全板长的平均表面努塞尔数为

$$Nu=0.037Re^{0.8}Pr^{1/3}$$

使用条件 $0.6<Pr<60, 5\times 10^5<Re<10^7$

单个圆柱横向绕流换热

定性分析

外掠圆柱流体层流与紊流的临界雷诺数为 $Re=1.5\times 10^5$

当流体斜向掠过圆柱, 冲激角 (流体与圆柱法线夹角) 越小, 表面传热系数越低

特征选取

特征量	选取方法
特征长度 $L$	圆柱直径 $L=d$
速度特征 $u$	强制对流速度 $u=u_\infty$
定性温度 $t_m$	对流温度与壁面温度的均值 $t_m=(t_w+t_\infty)/2$

基本形式

$$Nu=CRe^nPr^m(\frac{Pr_f}{Pr_w})^{0.25}$$

具体系数以及使用范围查 P107 表

光管管束横向绕流换热

定性分析

分为叉排与顺排两种排列方式
通常叉排换热性能好于顺排
当排数大于 $7$ 时换热能力变化不明显, 两种排列方式换热能力基本相同

特征选取

特征量	选取方法
特征长度 $L$	单根圆管直径 $L=d$
速度特征 $u$	最大流速度 (最小截面处流速) $u=u_\infty$
定性温度 $t_m$	流体平均温度

基本形式

$$Nu=CRe^nPr^m(\frac{s_1}{s_2})^p(\frac{Pr_f}{Pr_w})^{0.25}\varepsilon_z\varepsilon_\beta$$

具体系数以及使用范围查 P109 表

其中

• $s_1$ 垂直流动方向的管间距
• $s_2$ 沿流动方向的管间距

管内流动换热

定性分析

规定

• $Re\le 2200$ 圆管内流体为层流
• $2200<Re< 10^4$ 圆管内流体为过渡流
• $Re\ge 10^4$ 圆管内流体为紊流

认为在圆管入口, 由于没有与壁面充分摩擦, 因此流体速度基本相同, 边界层厚度 $\delta\approx 0$, 将这部分区域称为进口区
这部分区域由于边界层较薄, 因此换热性能好

在流体与壁面充分摩擦后, 边界层增厚到一定程度并稳定下来, 此时流动定型, 称为充分发展区

此外圆管通常会引入如下修正系数

• 当圆管较短时, 需要考虑进口区的影响, 因此还需要短管修正
• 当圆管内有弯管时, 将对流体产生扰动, 破坏边界层使边界层变薄, 对流换热系数增大, 以此引入弯管修正
• 当圆管流体与壁面温差较大时, 黏性的变化对边界层影响大, 当 $t_w>t_f$ 流体被加热时, 管壁流体黏性小边界层厚度小, 对流换热系数大, 以此引入温度修正 (部分公式已引入不必重复修正)

特征选取

特征量	选取方法
特征长度 $L$	圆管内径 $L=d$
速度特征 $u$	管内平均流速 $u=u_m$
定性温度 $t_m$	流出温度与流入温度的均值 $t_m=(t_f'+t_f'')/2$

基本形式

包含热充分发展区的层流对流换热下
平均努塞尔数为

$$Nu=1.86(RePr\frac{d}{l})^{1/3}(\frac{\mu_f}{\mu_w})^{0.14}$$

使用条件 $Re<2200, Pr>0.6, RePr\frac{d}{l}>10$

其中, $l$ 为整个管长

---

圆管内紊流换热下
平均努塞尔数为

$$Nu=0.023Re^{0.8}Pr^n$$

使用条件 $10^4<Re<12\times 10^4, 0.7<Pr<120, \frac{l}{d}>60$

其中, 流体被加热时 $n=0.4$, 流体被冷却时 $n=0.3$

大空间自然对流换热

定性分析

自然对流中, 流体速度 $u_\infty\approx 0$, 因此不适用雷诺数 $Re$

通常使用格拉晓夫 $Gr$ 数衡量物体周围因温差导致的密度差 (浮升力) 而形成的流动
通常认为这种流动平行于重力 $g$ 方向, 因此对于竖直与横向放置的物体, 对流换热系数不同 (特征量不同)

特征选取

特征量	选取方法
特征长度 $L$	圆管 / 竖板高 $L$ (用于竖直放置的圆管 / 竖版) 圆管直径 $d$ (用于水平放置的圆管)
温差特征 $\theta_w$	壁面温度与对流温度之差 $\theta_w=t_w-t_\infty$
定性温度 $t_m$	对流温度与壁面温度的均值 $t_m=(t_w+t_\infty)/2$

基本形式

$$Nu=C(Gr\cdot Pr)^n$$

具体系数以及使用范围查 P121 表

计算方法

通用方法

1. 根据题目确定所采用的模型
2. 根据模型, 确定所有特征参数 (先基本参数, 再查表确定物性参数)
3. 计算 $Re$ / $Gr$, 确定流动状态 (层流, 过渡流, 紊流), 以此为依据选择 $Nu$ 准则式, 并检查其余条件是否满足
4. 由公式得出 $Nu$, 并以此计算表面传热系数 $h$
5. 通过 $h$ 计算对流换热的热流量

圆管换热

对于圆管换热有能量守恒方程, 根据进出口与壁面温度即可求出理论表面换热系数 $h$

$$\rho q_v c(t_f''-t_f')+Ah(t_f-t_w)=0$$

方程第一项为圆管流动后流体的内能变化量 (出口温度减去入口温度)
方程第二项为流体向壁面传递的热流量, 其中 $A=\pi dl$ 为圆管内表面, 两者应守恒

• 对于求圆管管长 $l$ 问题
  1. 由于管长不属于特征参数, 因此可按通用方法找出特征参数, 确定 $Re$
  2. 注意, 管长 $l$ 出现在公式条件中, 需要先假设满足公式要求
  3. 通过公式即可得到管长 $l$ 关于表面换热系数 $h$ 的关系式
  4. 通常热流量也为未知量, 因此需要补充能量方程以求解 $l$
  5. 验证求解得到的 $l$ 是否满足公式条件
• 对于求圆管出口温度 $t_f''$ / 入口温度 $t_f'$ (以求 $t_f''$ 为例)
  1. 由于出入口温度与特征参数有关, 因此需要先假设一个温度, 通常假设 $t_f=t_f'$
  2. 按通用方法找出特征参数, 确定 $Re$, 并先假设满足公式要求
  3. 通过公式即可得到假设的表面换热系数 $h$ (公式中不直接包含 $t_f''$)
  4. 将求得的 $h$ 带入能量方程中, 解出迭代后的 $t_f''$ (注意将公式中的 $t_f=(t_f'+t_f'')/2$, 不可用假设值)
  5. 比较迭代后的 $t_f$ 与假设 $t_f$ 之间的差值, 当差值小于 $5\%$ 即可作为结果, 否则继续迭代