理想气体的热力学过程

基本热力学过程

定容过程

过程方程

对于定容过程, 体积 $V$ 为常数, 有

$$V=C, \mathrm{d}V=0$$

因此

$$W_b=0, Q=\Delta U$$

p-v 图

• 曲线形状分析
  由于 $V$ 为常数, 显然其 $p-v$ 图为一条沿 $p$ 轴方向的直线

• 区域分析
  根据体积功表达式, 在状态 $O$ 向曲线右侧区域移动的过程中, $\mathrm{d}v>0$, 体积功 $w_b=p\mathrm{d}v$ 增大

T-s 图

• 曲线形状分析
  根据热力学第一定律

$$T\mathrm{d}s=\mathrm{d}u+p\mathrm{d}v=c_v\mathrm{d}T\to\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}s}=\frac{T}{c_v}>0$$

因此过程曲线为一条斜率随 $T$ 增大而增大, 始终为正的曲线 (认为 $c_v$ 为常数)

• 区域分析
  根据熵的微分形式, 假设熵不变时, $\mathrm{d}s=0$, 积分可得

$$c_v\ln T=-R_g\ln v+C\to T=\frac{C}{v}$$

因此在 $s$ 相同时, $T$ 与 $v$ 成反比. 沿 $T$ 减小的方向上, $v$ 增大, 推广可得
在状态 $O$ 向曲线下侧区域移动的过程中, $\mathrm{d}v>0$, 体积功 $w_b=\int p\mathrm{d}v$ 增大

定压过程

过程方程

对于定容过程, 压力 $p$ 为常数, 有

$$p=C, \mathrm{d}p=0$$

因此

$$W_t=0, Q=\Delta H$$

p-v 图

• 曲线形状分析
  由于 $p$ 为常数, 显然其 $p-v$ 图为一条沿 $v$ 轴方向的直线

• 区域分析
  根据技术功表达式, 在状态 $O$ 向曲线下侧区域移动的过程中, $\mathrm{d}p<0$, 体积功 $w_t=\int -v\mathrm{d}p$ 增大

T-s 图

• 曲线形状分析
  根据热力学第一定律

$$T\mathrm{d}s=\mathrm{d}h-v\mathrm{d}p=c_p\mathrm{d}T\to \frac{T}{c_v}>\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}s}=\frac{T}{c_p}>0$$

因此过程曲线为一条斜率随 $T$ 增大而增大, 始终为正的曲线 (认为 $c_p$ 为常数)
由于始终有 $c_p>c_v$, 因此相同的温度 $T$ 下, 定压过程曲线斜率总是小于定温过程

• 区域分析
  根据熵的微分形式, 假设熵不变时, $\mathrm{d}s=0$, 积分可得

$$c_p\ln T=R_g\ln p+C\to T=\frac{p}{C}$$

因此在 $s$ 相同时, $T$ 与 $p$ 成正比. 沿 $T$ 减小的方向上, $p$ 减小, 推广可得
在状态 $O$ 向曲线下侧区域移动的过程中, $\mathrm{d}p<0$, 技术功 $w_t=\int -v\mathrm{d}p$ 增大

定温过程

过程方程

对于定温过程, 温度 $T$ 为常数, 有

$$T=C, \mathrm{d}p=0$$

因此

$$\Delta u,\Delta h=0$$

p-v 图

• 曲线形状分析
  根据理想气体状态方程, 定温条件下 $pv=C$, 因此过程曲线即双曲线

• 区域分析
  同上可得, 定温状态下 $pv=R_gT$, 在状态 $O$ 远离坐标原点移动的过程 (向曲线上方移动) 中, $\mathrm{d}T>0$, 热力学能与焓 $\Delta h,\Delta u\propto \Delta T$ 增大

T-s 图

• 曲线形状分析
  由于 $T$ 为常数, 显然其 $T-s$ 图为一条沿 $s$ 轴方向的直线

• 区域分析
  根据热力学能与焓表达式, 在状态 $O$ 向曲线上侧区域移动的过程中, $\mathrm{d}T>0$, 热力学能与焓 $\Delta h,\Delta u\propto \Delta T$ 增大

定熵过程 (绝热过程)

过程方程

对于定熵过程, 热量 $Q$ 为常数, 有

$$Q,s=C, \mathrm{d}s=0$$

因此, 根据熵的微分表达式

$$0=c_p\ln v+c_v\ln p+C\to C=v^{c_p}p^{c_v}$$

通常引入绝热系数 $k=\frac{c_p}{c_v}$ 也写作

$$pv^k=C$$

p-v 图

• 曲线形状分析
  根据上文分析结论, 绝热条件下 $p=\frac{C}{v^k}$, 因此过程曲线即高阶双曲线
  易得, 曲线斜率为定温过程的 $k>1$ 倍, 相比等温过程, 绝热曲线更陡峭

• 区域分析
  根据理想气体的熵, $p,v$ 越大, 熵 $s$ 越大
  因此, 绝热条件下, 在状态 $O$ 远离坐标原点移动的过程 (向曲线上方移动) 中, $\mathrm{d}s>0$, 热量 $q=\int T\mathrm{d}s$ 增大

T-s 图

• 曲线形状分析
  由于 $s$ 为常数, 显然其 $T-s$ 图为一条沿 $T$ 轴方向的直线

• 区域分析
  根据热量的表达式, 在状态 $O$ 向曲线右侧区域移动的过程中, $\mathrm{d}s>0$, 热量 $q\propto \Delta s$ 增大

多变过程

将一类满足过程方程 $pv^n=C$ 的可逆过程定义为多变过程
其中 $n$ 为多变指数

多变过程与基本过程的关系

观察四种基本热力学过程可得, 其过程方程均可总结为形式

$$pv^n=C$$

因此四种基本过程均为多变过程

• 当 $n=0$, 有 $p=C$, 此时为等压过程
• 当 $n=1$, 有 $pv=C$, 此时为等温过程
• 当 $n=k$, 有 $pv^k=C$, 此时为绝热过程
• 当 $n=\infty$, 有 $v=C$, 此时为等压过程

多变过程分析

对于经过状态 $O$ 的四种基本过程曲线, 其将 $pv$ 图与 $Ts$ 图上无数个状态划分为了多块区域

根据 $O$ 经过多变过程到下一个状态 $Q$ 中所发生的参数与能量的变化
就能分析出状态 $Q$ 所处的区域, 以及 $O$ 到 $Q$ 的多变过程所对应的多变指数

状态参数与能量转换的关系

状态参数	对应能量	微分表示	变化关系	常见描述
$v$	体积功 $w_b$	$\delta w_b = p\mathrm{d}v$	$v\uparrow,\mathrm{d}v>0,w_b\uparrow$	工质膨胀 (压缩)
$p$	技术功 $w_t$	$\delta w_t = -v\mathrm{d}p$	$p\downarrow,\mathrm{d}p<0,w_t\uparrow$	工质升压 (降压)
$T$	热力学能 $\Delta u$, 焓 $\Delta h$	$\mathrm{d}u=c_v\mathrm{d}T$, $\mathrm{d}h=c_p\mathrm{d}T$	$T\uparrow,\mathrm{d}T>0,u,h\uparrow$	工质升温 (降温)
$s$	热量 $q$	$\delta q = T\mathrm{d}s$	$s\uparrow,\mathrm{d}s>0,q\uparrow$	工质吸热 (放热)

基本过程曲线特点

保持参数	多变指数	$pv$ 曲线特点	$pv$ 图区域划分	$Ts$ 曲线特点	$Ts$ 图区域划分
定容 $v$	$n=\infty$	水平线	直线右侧 $\mathrm{d}v>0,w_b\uparrow$	$y'=\frac{T}{c_v}$ 类指数曲线	曲线下侧 $\mathrm{d}v>0,w_b\uparrow$
定压 $p$	$n=0$	垂直线	直线下侧 $\mathrm{d}v>0,w_b\uparrow$	$y'=\frac{T}{c_p}$ 斜率小于定容曲线	曲线下侧 $\mathrm{d}p<0,w_t\uparrow$
定温 $T$	$n=1$	$y'=-\frac{p}{v}$ 类双曲线	远离原点一侧 $\mathrm{d}T>0,u,h\uparrow$	水平线	直线上侧 $\mathrm{d}T>0,u,h\uparrow$
绝热 $s$	$n=k$	$y'=-k\frac{p}{v}$ 斜率大于定温曲线	远离原点一侧 $\mathrm{d}s>0,q\uparrow$	垂直线	直线右侧 $\mathrm{d}s>0,q\uparrow$

参数变化判断

已知过程到下一个状态点 $Q$ 时发生的参数 / 能量变化, 求多变指数 $n$ 的范围

1. 在 $pv$ 图或 $Ts$ 图中画出如上所示的四种基本过程曲线, 且曲线过 $O$ 点, 并标注保持参数 $\boxed{x}$ 与多变指数 $n$
2. 根据题目表述的参数 / 能量变化以及状态参数与能量转换的关系, 确定四个状态参数的变化情况
3. 根据基本过程曲线特点, 将满足要求变化的区域用如图所示的圆弧标记出来
4. 当满足所有圆弧经过的区域即待求过程所在的区域, 待求过程的多变指数即在区域两侧对应多变指数内

判断时有以下注意事项

1. 在 $pv$ 图或 $Ts$ 图其中一个判断即可的到 $n$ 的范围
   另一个可用于检查 (得到结果相同)
2. 当 $n$ 一侧为定容曲线 $n=\infty$, 另一侧为 $n'$
   可以先假设 $n=-\infty$, 则 $(-\infty,n')$ 内不能包含任何其他 $n>n'$ 的曲线
3. 对于同一个 $n$ 下的多变过程, 状态移动方向不同, 将对应两个完全反的参数变化趋势
   因此标注图像时, 还应画出箭头体现方向

理想气体系统计算与分析

系统划分

以同类气体 / 物体对题目体系进行划分

当体系与外界存在交换时, 则应使用稳态稳流的相关方法进行处理

$$q_Q=q_W+q_m[(h_{out}+\frac{1}{2}c_{out}^2+gh_{out})-(h_{in}+\frac{1}{2}c_{in}^2+gh_{in})]$$

当与外界物质交换时, 则认为是闭口系, 此时满足闭口系的热力学第一定律
可以使用热力学第一定律, 计算能量间的关系 (特别是计算一般过程的能量)

$$Q=W+\Delta U$$

理想气体条件

当系统内的工质为理想气体时, 则可以使用理想气体的状态方程求解状态间的关系, 以及工质质量

$$\frac{p_1V_1}{T_1}=\frac{p_2V_2}{T_2}=mR_g$$

此外也能计算气体的热力学能 $\Delta u$ 与焓变 $\Delta h$

$$\Delta u = c_v(T_2-T_1)\quad \Delta h = c_p(T_2-T_1)$$

以及熵变 (理想气体的熵变公式对任意过程满足)

$$\Delta s=\int_{1}^{2}\mathrm{d}s=\begin{cases} c_v\ln\frac{T_2}{T_1}+R_g\ln\frac{v_2}{v_1}\\ c_p\ln\frac{T_2}{T_1}-R_g\ln\frac{p_2}{p_1}\\ c_v\ln\frac{p_2}{p_1}+c_p\ln\frac{v_2}{v_1}\\ \end{cases}$$

准静态判断

对各个系统的过程分别进行准静态判断

根据准静态过程的条件
需要判断过程中是否具有无穷小势差, 如 (括号内为不满足的情况)

1. 活塞缓慢移动 (活塞自由移动)
2. 无穷小温差吸热 (直接从热源吸热)

当准静态过程要求满足时, 过程可以在 $pv, Ts$ 图上表示
且可用公式计算体积功 $w_b$ 与技术功 $w_t$

$$w_b=\int\limits_{l_{1\to 2}}p\mathrm{d}v\quad w_t=\int\limits_{l_{1\to 2}}-v\mathrm{d}p$$

使用以上公式时, 通常需要带入理想气体状态方程或过程方程求解 ($p,v$ 相互不独立)

可逆性判断

对各个系统的过程分别进行可逆性的判断

根据可逆过程的条件, 在准静态过程的基础上, 还要判断
系统是否有能量损耗, 通常为判断活塞移动是否无摩擦

当可逆性满足时, 可用公式计算热量 $q$

$$q=\int\limits_{l_{1\to 2}}T\mathrm{d}s$$

以上公式一般仅在定温 $q=T\Delta s$ 或绝热 $q=0$ 下使用

系统热力学过程判断

基本过程

注意对系统过程判断需要保证系统内的特定状态参数不变
如果仅有体系总参数不变, 则其下的系统不一定不变

1. 定容
   当系统没有活塞且处于刚性容器中, 则系统过程定容
   理想气体系统可逆时还有 $v=C$
2. 定压
   当系统通过自由活塞与外界连接时, 则系统过程定压
   理想气体系统可逆时还有 $p=C$
3. 定温
   当导热容器以及系统其他边界与外界直接接触, 则系统过程定温
   理想气体系统可逆时还有 $pv=C$
4. 绝热
   当绝热容器以及系统其他边界绝热, 则系统过程绝热
   理想气体系统可逆时还有 $pv^k=C$

通过判断基本过程 (多变过程) 得到的过程方程 $pv^k=C$ 也可用于求解状态间的关系

例外举例 (必须严格考察题目条件是否符合要求)

1. 绝热容器中的导热活塞无法保证系统绝热
2. 绝热系统中有电热丝传入热量

多变过程

当过程可逆时, 还可判断过程是否为多变过程
根据多变过程的过程方程有多变指数计算公式

$$\frac{\ln p_2-\ln p_1}{\ln V_1-\ln V_2}=n$$

通过计算得到的多变指数计算过程功 $w'$, 与实际过程功 $w$ 比较, 当误差小于 $5\%$, 认为过程为多变过程

补充系统间关系

1. 当体系处于刚性容器中, 则补充体系方程 $V=\sum V_i$
2. 当体系处于绝热容器中, 则补充体系方程 $\sum Q_i=0$
3. 当两系统之间存在自由运动的无摩擦活塞有 $W_A=-W_B$, $P_A=P_B$
4. 当活塞为导热活塞时 $T_A=T_B$