数理统计

总体与个体

概念 P89

1. 总体: 研究对象全体的集合
2. 个体: 组成总体的元素

关系 P90

设总体$X$的分布函数$F(x)$, 若 $X_1,X_2,...,X_n$ 相互独立且与总体同分布, 则称 $X_1,X_2,...,X_n$ 是总体 $X$ 的容量为 $n$ 的样本

统计量 P92

设 $g(x_1,x_2,...,x_n)$ 不含未知参数, 有

$$Z=g(X_1,X_2,...,X_n)$$

则称随机变量 $Z$ 为统计量

样本均值

$$\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nX_i$$

样本方差

注意 $n-1$ , 此时样本方差为总体方差的无偏估计

$$S^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n(X_i-\overline{X})^2$$

样本标准差

$$S=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n(X_i-\overline{X})^2}$$

抽样分布 P93

$\chi^2$ (卡方)分布

设 $(X_1,X_2,...,X_n)$ 是总体 $X\sim N(0,1)$ 的样本, 称统计量

$$\chi^2=X_1^2+X_2^2+...+X_n^2$$

服从自由度为n的卡方分布, 记为 $\chi^2\sim\chi^2(n)$要求 $(X_1,X_2,...,X_n)$ 相互独立, 或仅有一个自由度(变量)时, 没有要求

概率密度

$$f(x)=\begin{cases} \frac{1}{2^{n/2}\Gamma(n/2)}x^{\frac{n}{2}-1}e^{-\frac{x}{2}}&,x\ge0\\ 0&,x<0 \end{cases}$$

性质

1. $$E\chi^2=n$$

2. $$D\chi^2=2n$$

3. $$\chi_1^2\sim\chi^2(n)\;\chi_2^2\sim\chi^2(m)\\(\chi_1^2+\chi_2^2)\sim\chi^2(n+m)\;$$

4. 设 $\chi^2\sim\chi^2(n)$ 常数 $\chi^2_\alpha(n)$, $\alpha\in(0,1)$, 满足

$$\int_{\chi^2_\alpha(n)}^{+\infty}f_{\chi^2}(x)dx=P(\chi^2>\chi^2_\alpha(n))=\alpha$$

则称 $\chi^2_\alpha(n)$ 为 $\chi^2(n)$ 分布的上侧 $\alpha$ 分位点

特例

$X\sim N(0,1)$ 则 $X^2\sim\chi^2(1)$

t 分布

设 $X\sim N(0,1)\;Y\sim\chi^2(n)$, 且 $X,Y$ 相互独立, 则称

$$T=(\text{上下均匀, 同次})\frac{X}{\sqrt{Y/n}}\sim t(n)$$

表明 $T$ 服从自由度为 $n$ 的 $t$ 分布

性质

1. $t$ 分布的概率密度函数为偶函数
2. 当 $n\to\infty$, $t(n)$ 分布趋近于标准正态分布
3. 设 $T\sim t(n)$ 常数 $t_\alpha(n)$, $\alpha\in(0,1)$, 满足

$$\int_{t_\alpha(n)}^{+\infty}f_{T}(x)dx=P(T>t_\alpha(n))=\alpha$$

则称 $t_\alpha(n)$ 为 $t(n)$ 分布的上侧 $\alpha$ 分位点 4. 特征 分子分母为一次

特例

$X,Y$ 来自总体 $N(0,1)$$\because|Y|=\sqrt{Y^2} \; Y^2\sim\chi^2(1)$$\therefore \frac{X}{|Y|}\sim t(1)$

F 分布

设 $X\sim\chi^2(n)\;Y\sim\chi^2(m)$, 且 $X,Y$ 相互独立, 则称

$$F=(\text{上下均匀, 同次})\frac{X/n}{Y/m}\sim F(n,m)$$

表明 $F$ 服从自由度为 $(n,m)$ 的 $F$ 分布

性质

1. $$F\sim F(n,m)\to\frac{1}{F}\sim F(m,n)$$

2. 设 $F\sim F(n,m)$ 常数 $F_\alpha(n)$, $\alpha\in(0,1)$, 满足

$$\int_{F_\alpha(n,m)}^{+\infty}f_{F}(x)dx=P(F>F_\alpha(n,m))=\alpha$$

则称 $F_\alpha(n,m)$ 为 $F(n,m)$ 分布的上侧 $\alpha$ 分位点

3. $$F_{1-\alpha}(n,m)=\frac{1}{F_\alpha(m,n)}$$

4. 特征 分子分母为二次

正态总体的统计量分布 P95

前提条件: 设 $(X_1,X_2,...,X_n)$ 是总体 $X\sim N(\mu, \sigma^2)$ 的样本

性质

1. $\overline{X}$ 与 $S^2$ 独立

2. $$\bar{X}\sim N(\mu,\frac{\sigma^2}{n})$$

3. $S$ 中分母为 $n-1$, 减去的值为随机变量 $\bar{X}$

$$(n-1)\frac{S^2}{\sigma^2}\sim\chi^2(n-1)$$

4. 将 $X_i$ 标准化后求平方和, 即卡方分布

$$\frac{1}{\sigma^2}\sum_{i=1}^n(X_i-\mu)^2\sim\chi^2(n)$$

统计量分布 P95

单随机变量序列

标准化的 $\overline{X}$ 与化为 $\chi^2(n-1)$ 的 $S^2$ 转换为 $t$ 分布时, 要除以 $n-1$ 并开方

$$T=(\frac{\overline{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}})/\sqrt{\frac{n-1}{n-1}\frac{S^2}{\sigma^2}}=\frac{\bar{X}-\mu}{S/\sqrt{n}}\sim t(n-1)$$

双变量

设 $(X_1,X_2,...,X_n)$ 是总体 $X\sim N(\mu_x, \sigma_x^2)$ 的样本
$(Y_1,Y_2,...,Y_m)$ 是与 $X$ 独立的总体 $Y\sim N(\mu_y, \sigma_y^2)$ 的样本

$$F=\frac{S_x^2/\sigma_x^2}{S_y^2/\sigma_y^2}\sim F(n-1,m-1)$$