随机事件

随机事件的运算 P3

包含于

若 $A$ 发生必导致 $B$ 发生, 则称 $A$ 包含于 $B$

$$A\subset B$$

和(并)

当 $A$ 和 $B$ 至少一个发生, 记为

$$A\cup B$$

当 $A, B$ 互斥时, 也可记为

$$A+B$$

交(积)

当 $A$ 和 $B$ 同时发生, 记为

$$A\cap B$$

简记为

$$AB$$

差

当 $A$ 发生而 $B$ 不发生, 记为

$$A-B=A\overline{B}$$

互斥

$$AB=\empty$$

互逆

$$AB=\empty\;A\cup B=\Omega$$

则称 $AB$ 互逆

$$A=\overline{B}$$

并与交的分配律

$$A\cap(B\cup C)=(A\cap B)\cup(A\cap C)$$

$$A\cup(B\cap C)=(A\cup B)\cap(A\cup C)$$

计算注意

$AB$ 并集中必定有 $B$

$$(A\cup B)\cap B=B$$

对偶定律

$$\overline{A\cup B}=\overline{A}\cap\overline{B}$$

$$\overline{A\cap B}=\overline{A}\cup\overline{B}$$

概率计算 P5

基本性质

$$1=P(\Omega)>P(A)\ge0$$

有限可加性

若 $A_n$ 两两不相容

$$P(\mathop{\cup}\limits^{n}_{i=1}A_i)=\sum_{i=1}^{n}P(A_i)$$

eg.

$$A=A\overline{B}+AB\to P(A\overline{B})=P(A)-P(AB)$$

逆事件

$$P(A)=1-P(\overline{A})$$

单调性

$$A\subset B$$

$$P(A)\le P(B)$$

事件和公式

$$P(A\cup B\cup C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)$$

事件的文字表述

有事件 $A_1,A_2,A_3,...A_n$

至少

1. 至少一个发生

$$C_1=A_1\cup A_2\cup...\cup A_n$$

2. 至少两个发生

$$C_2=A_1A_2\cup ...\cup A_1A_n\cup...\cup A_{n-1}A_n$$

3. 至少 $n$ 个发生的情况同

恰好

• 假设事件 $B_i$ 为 $A$ 中恰好有i个发生
• 至少一个发生即

$$C_1=B_1\cup B_2\cup...\cup B_n$$

• 至少两个发生即

$$C_2=B_2\cup B_3\cup...\cup B_n$$

• 恰好一个发生

$$B_1=C_1-C_2$$

事件的独立性

条件概率 P6

在 $A$ 发生的条件下, $B$ 发生的概率记为 $P(B|A)$

$$P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}$$

推广

1. $$P(\overline{A}|B)=1-P(A|B)$$

2. $$P(A\overline{B}|C)=P(A|C)-P(AB|C)$$

3. $$P(A\cup B|C)=P(A|C)+P(B|C)-P(AB|C)$$

划分 P9

设 $A_n$ 两两互斥, 满足

$$1=P(A_1)+P(A_2)+...+P(A_n)$$

则称 $A_1,A_2,...,A_n$ 为 $\Omega$ 的一个划分 (可通过画图理解, 详见 3b1b 的有关视频)

全概率公式

$$\begin{split} P(B)&=P(B|A_1)P(A_1)+P(B|A_2)P(A_2)+...+P(B|A_n)P(A_n)\\ &=\sum_{i=1}^n P(B|A_i)P(A_i)\end{split}$$

贝叶斯公式

$$P(A_i|B)=\frac{P(B|A_i)P(A_i)}{P(B)}=\frac{P(B|A_i)P(A_i)}{\sum_{k=1}^n P(B|A_k)P(A_k)}$$

• $P(A_i)$ 先验概率
• $P(A_i|B)$ 后验概率
• 用于知 $P(A_i|B)$ 求 $P(B|A_i)$

独立性

与互斥性区分

1. A与B独立时有

$$P(AB)=P(A)P(B)\iff P(A|B)=P(A)$$

2. 相互独立

$$P(ABC)=P(A)P(B)P(C)\\P(AB)=P(A)P(B),\;P(AC)=P(A)P(C),\;P(BC)=P(B)P(C)$$

3. 两两独立

$$P(AB)=P(A)P(B),\;P(AC)=P(A)P(C),\;P(BC)=P(B)P(C)$$

解题步骤

1. 设事件A
2. P(A)=...
3. 回答