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一维随机变量

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一维随机变量

分布函数

注意小于等于号

FX(x)=P(X≤x)(x∈R) F_X(x)=P(X\le x)(x\in\R)

性质

  1. 单调非降
  2. 右连续

lim⁡x→a+F(x)=F(a)=P(X≤x) \lim_{x\to a^+}F(x)=F(a)=P(X\le x)

间断点取值与右侧相同
x→a+x\to a^+ xx 从 aa 的右侧趋近
P(X≤a)P(X\le a) 必定包含a点

  1. F(−∞)=0≤F(x)≤F(+∞)=1 F(-\infty)=0\le F(x)\le F(+\infty)=1

通过数轴图理解

计算

F(b)−F(a)=P(a<X≤b) F(b)-F(a)=P(a<X\le b)

有等号的地方没有等号, 没有等号的地方有等号时, 取负极限

lim⁡x→a−F(x)=P(X<a)=P(X≤a)−P(X=a)=F(a)−P(a) \lim_{x\to a^-}F(x)=P(X<a)=P(X\le a)-P(X=a)=F(a)-P(a)

∴P(a)=F(a)−lim⁡x→a−F(x) \therefore P(a)=F(a)-\lim_{x\to a^-}F(x)

离散型随机变量

分布

二项分布 P16

  • X∼B(n,p) X\sim B(n,p)

  • P(X=k)=Cnkpk(1−p)n−k P(X=k)=C_n^kp^k(1-p)^{n-k}

  • EX=np EX=np

  • DX=np(1−p) DX=np(1-p)

  • 可用于有多个独立个体做某事 AA 概率相同, 求同一时间内做 AA 的人数
  • 当 np(1−p)np(1-p) 较大时, X∼近似N(np,np(1−p))X\mathop{\sim}\limits^{\text{近似}}N(np,np(1-p))
  • 当 n≥20  p≤0.05n\ge20\;p\le0.05, X∼近似P(np)X\mathop{\sim}\limits^{\text{近似}}P(np)

泊松分布

  • X∼P(λ)(λ>0) X\sim P(\lambda)(\lambda>0)

  • P(X=k)=e−λλkk!(k=0,1,2,...) P(X=k)=\frac{e^{-\lambda} \lambda^{k}}{k!}(k=0,1,2,...)

  • EX=λ EX=\lambda

  • DX=λ DX=\lambda

几何分布

  • 含义: 重复做实验 AA, 第 kk 次成功的概率

  • P(X=k)=p(1−p)k−1 P(X=k)=p(1-p)^{k-1}

  • EX=1p EX=\frac{1}{p}

  • DX=1−pp2 DX=\frac{1-p}{p^2}

超几何分布

  • 含义: 共有 NN 件两种物品, 其中有 MM 件物品 AA, 从中取 nn 个物品, 求取到的 nn 件物品中, 有 kk 件 MM 的概率

  • P(X=k)=CMkCN−Mn−kCNn P(X=k)=\frac{C_M^kC_{N-M}^{n-k}}{C_N^n}

  • EX=nMN EX=n\frac{M}{N}

连续型随机变量

密度函数

  1. 定义

fx(x)=Fx′(x) f_x(x)=F_x'(x)

F(x)=∫−∞xf(x)dx F(x)=\int^{x}_{-\infty}f(x)dx

  1. 性质

    1. f(x)≥0 f(x)\ge0

    2. ∫−∞∞f(x)dx=1 \int_{-\infty}^{\infty}f(x)dx=1

      • 对于已知的密度函数, 可作为条件(求EX)
      • 换元法 见书P29

分布

均匀分布

  • X∼U(a,b) X\sim U(a,b)

  • 长度分之1

f(x)={1b−a,a≤x≤b,0,其余 f(x)=\begin{cases} \frac{1}{b-a}&,a\le x\le b,\\ 0&,\text{其余} \end{cases}

  • 平均值

EX=b+a2 EX=\frac{b+a}{2}

  • ab的距离

DX=(b−a)212 DX=\frac{(b-a)^2}{12}

  • 有连续型随机变量 XX, Y=FX(X)∼U(0,1)Y=F_X(X)\sim U(0,1)

指数分布

  • X∼E(λ)(λ>0) X\sim E(\lambda)(\lambda>0)

  • f(x)={λe−λ,0≤x,0,其余 f(x)=\begin{cases}\lambda e^{-\lambda}&,0\le x,\\0&,\text{其余}\end{cases}

  • F(x)={1−e−λ,0≤x,0,其余 F(x)=\begin{cases}1-e^{-\lambda}&,0\le x,\\0&,\text{其余}\end{cases}

  • EX=1λ EX=\frac{1}{\lambda}

  • DX=1λ2 DX=\frac{1}{\lambda^2}

正态分布

  • X∼N(μ,σ2) X\sim N(\mu,\sigma^2)

  • f(x)=12πσe−(x−μ)22σ2 f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}

  • EX=μ EX=\mu

  • 注意σ\sigma为标准差

DX=σ2 DX=\sigma^2

  • 标准化正态分布

Y=X−EXDX∼N(0,1) Y=\frac{X-EX}{\sqrt{DX}}\sim N(0,1)

  • 标准化正态分布的对称性

P(X>0)=P(X<0)=12 P(X>0)=P(X<0)=\frac{1}{2}

  • 标准化正态分布的分布函数记为

Φ(x)=12π∫−∞xe−x22dx \Phi(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^xe^{-\frac{x^2}{2}}\mathrm{d}x

为单调递增函数(分布函数的性质)

解题步骤

  1. 设随机变量 X
  2. X的可能取值为 ...
  3. P(X=..)=.., ..
  4. 回答