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多维随机变量

大约 4 分钟

多维随机变量

联合分布函数 P36

计算

  • P(a<X≤b,c<Y≤d)=F(b,d)+F(a,c)−F(b,c)−F(a,d) P(a<X\le b,c<Y\le d)=F(b,d)+F(a,c)-F(b,c)-F(a,d)

  • 注意, 不是导数关系

F(x,∞)=FX(x)F(∞,y)=FY(y) F(x,\infty)=F_X(x)\\F(\infty,y)=F_Y(y)

性质

  1. 非负性

0≤F(x,y)≤1 0\le F(x,y)\le 1

  1. 单调递增 对于X与Y分别单调递增
  2. 右连续 有等号的地方没有等号, 没有等号的地方有等号时, 取负极限

  3. P(−∞,y)=P(x,−∞)=0,  P(+∞,+∞)=1 P(-\infty,y)=P(x,-\infty)=0,\;P(+\infty,+\infty)=1

  4. P(a<X≤b,c<Y≤d)=F(b,d)+F(a,c)−F(b,c)−F(a,d)>0 P(a<X\le b,c<Y\le d)=F(b,d)+F(a,c)-F(b,c)-F(a,d)>0

联合密度函数 P39

性质

  1. F(∞,∞)=∫−∞∞∫−∞∞f(x,y)dxdy=1 F(\infty,\infty)=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} f(x,y)dx dy=1

  2. f(x,y)=∂2F(x,y)∂x∂y f(x,y)=\frac{\partial^2 F(x,y)}{\partial x\partial y}

  3. fx(x)=∫−∞∞f(x,y)dy f_x(x)=\int_{-\infty}^{\infty}f(x,y)dy

fy(y)=∫−∞∞f(x,y)dx f_y(y)=\int_{-\infty}^{\infty}f(x,y)dx

通过积分消去 x/yx/y. 对于广义积, 分化为以 x/yx/y 的分段函数再积分.

注意两者不是导数关系

连续型联合分布函数

均匀分布

f(x,y)={1S,(x,y)∈S,0,其余 f(x,y)=\begin{cases} \frac{1}{S}&,(x,y)\in S,\\ 0&,\text{其余} \end{cases}

二维正态分布

(X,Y)∼N(μ1,μ2,σ12,σ22,ρ) (X,Y)\sim N(\mu_1,\mu_2,\sigma_1^2,\sigma_2^2,\rho)

  • μ1,μ2\mu_1,\mu_2 X与Y的平均值
  • σ12,σ22\sigma_1^2,\sigma_2^2 X与Y的方差
  • ρ\rho X与Y的相关系数

性质

  1. X∼N(μ1,σ12)X\sim N(\mu_1,\sigma_1^2) ; Y∼N(μ2,σ22)Y\sim N(\mu_2,\sigma_2^2)
  2. C1X+C2Y∼一维正态分布C_1X+C_2Y\sim \text{一维正态分布}
  3. X,Y独立  ⟺  ρ=0X,Y\text{独立}\iff \rho=0 (仅有二维正态分布有此性质)
  4. 在 X=xX=x 条件下(P43),

Y∣X=x∼N(μ2+ρσ2σ1(x−μ1),(1−ρ2)σ22) Y|X=x\sim N(\mu_2+\rho\frac{\sigma_2}{\sigma_1}(x-\mu_1),(1-\rho^2)\sigma_2^2)

公式中新期望的记忆方法

Y−EYDY=ρX−EXDX \frac{Y-EY}{\sqrt{DY}}=\rho\frac{X-EX}{\sqrt{DX}}

条件分布

记 P(X≤x∣Y=y)=F(x∣y)P(X\le x|Y=y)=F(x|y)

连续型随机变量 P42

∵F(x∣y)=F(x,y)−F(x,y−)fY(y)dy=∂F(x,y)∂yfY(y) \because F(x|y)=\frac{F(x,y)-F(x,y^-)}{f_Y(y)dy}=\frac{\frac{\partial F(x,y)}{\partial y}}{f_Y(y)}

∴f(x∣y)=f(x,y)fY(y) \therefore f(x|y)=\frac{f(x,y)}{f_Y(y)}

离散型随机变量

P(X+Y<a∣Y=b)=P(X+b<a)P(Y=b) P(X+Y<a|Y=b)=\frac{P(X+b<a)}{P(Y=b)}

独立性

X,Y独立  ⟺  f(x,y)=fx(x)fy(y)  ⟺  F(x,y)=FX(x)FY(y) X,Y\text{独立}\iff f(x,y)=f_x(x)f_y(y)\iff F(x,y)=F_X(x)F_Y(y)

技巧 X,YX,Y 独立, 求 P(G(X,Y)<0)P(G(X,Y)<0) 可以化为(注意分情况, 负正得负, 负负得正)

P(G(X,Y)<0)=P(f1(X)f2(Y)<0)=P(f1(X)<0)P(f2(Y)>0)+P(f1(X)>0)P(f2(Y)<0) P(G(X,Y)<0)=P(f_1(X)f_2(Y)<0)=P(f_1(X)<0)P(f_2(Y)>0)+P(f_1(X)>0)P(f_2(Y)<0)

多维随机变量函数 P45

连续型

加法

Z=aX+bY Z=aX+bY

fz(z)=∫−∞∞1∣b∣f(x,z−axb)dx f_z(z)=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{|b|}f(x,\frac{z-ax}{b})dx

  1. 用 z,xz,x 表示 yy 带入
  2. 对 xx 积分, 消去 xx
  3. 除以 zz 的系数的绝对值

乘法

Z=XY Z=XY

fz(z)=∫−∞∞1∣x∣f(x,zx)dx f_z(z)=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{|x|}f(x, \frac{z}{x})dx

除法

Z=YX Z=\frac{Y}{X}

fz(z)=∫−∞∞∣x∣f(x,zx)dx f_z(z)=\int_{-\infty}^{\infty}|x|f(x,zx)dx

最大值

设 X1,X2,...,XnX_1,X_2,...,X_n 相互独立

Z=max{X1,X2,...,Xn} Z=max\{X_1,X_2,...,X_n\}

P(Z≤z)=P(max{X1,X2,...,Xn}≤z) P(Z\le z)=P(max\{X_1,X_2,...,X_n\}\le z)

即大于所有 XnX_n

P(Z≤z)=P(X1≤z)P(X2≤z)...P(Xn≤z) P(Z\le z)=P(X_1\le z)P(X_2\le z)...P(X_n\le z)

∴F(z)=FX1(z)FX2(z)...FXn(z) \therefore F(z)=F_{X_1}(z)F_{X_2}(z)...F_{X_n}(z)

最小值

设 X1,X2,...,XnX_1,X_2,...,X_n 相互独立

Z=min{X1,X2,...,Xn} Z=min\{X_1,X_2,...,X_n\}

P(Z>z)=P(min{X1,X2,...,Xn}>z) P(Z> z)=P(min\{X_1,X_2,...,X_n\}> z)

即小于所有 XnX_n

P(Z>z)=P(X1>z)P(X2>z)...P(Xn>z) P(Z> z)=P(X_1> z)P(X_2> z)...P(X_n> z)

P(Z≤z)=1−P(Z>z)=1−(1−P(X1≤z))(1−P(X2≤z))...(1−P(Xn≤z)) P(Z\le z)=1-P(Z>z)=1-(1-P(X_1\le z))(1-P(X_2\le z))...(1-P(X_n\le z))

∴F(z)=1−(1−FX1(z))(1−FX2(z))...(1−FXn(z)) \therefore F(z)=1-(1-F_{X_1}(z))(1-F_{X_2}(z))...(1-F_{X_n}(z))

正态总体的样本

设 X1,X2,...,XnX_1,X_2,...,X_n 相互独立且 Xi∼N(μ,σ2)X_i\sim N(\mu, \sigma^2)

∑i=1nCiXi∼N(μ∑i=1nCi,σ2∑i=1nCi2) \sum_{i=1}^nC_iX_i\sim N(\mu\sum_{i=1}^nC_i, \sigma^2\sum_{i=1}^nC_i^2)

  • 即 XiX_i 的线性组合仍为正态分布, 参数为新的期望/方差
  • 两个独立的不同的正态分布线性组合可以化为标准正态

分段

计算多位随机变量函数时, 要注意分段, 以 (X,Y)∼U(0≤X,Y≤1)  Z=X+Y(X,Y)\sim U(0\le X,Y\le1)\;Z=X+Y 为例

  1. 通过 X, Y 得出 Z 的取值范围 (0≤Z≤20\le Z\le2)
  2. 采用消去 Y 的方法, 得到 y=g(x,y)y=g(x,y) (y=z−xy=z-x)
  3. 将YY带入取值范围, 得到两个关于XX的不等式

{0≤x≤1z−1≤x≤z \begin{cases} &0\le x\le1\\ &z-1\le x\le z \end{cases}

  1. 通过移动ZZ的取值, 的到XX的不同上下限(同时分段), 对XX上下限积分, 得到fz(z)f_z(z)

含有离散型的多维随机变量函数 P47

  1. 消去离散型部分
  2. 合理分段(见书)