数字特征

数学期望

$$EX=\sum_{i=1}^{\infty}x_ip_i=\int_{-\infty}^{\infty}xf(x)dx$$

条件

1. 级数绝对收敛
2. x取绝对值时, 积分存在

随机变量函数的数学期望

一维

$$Z=g(X)$$

$$EZ=\sum_{i=1}^{\infty}g(x_i)p_i=\int_{-\infty}^{\infty}g(x)f(x)dx$$

二维

$$Z=g(X,Y)$$

$$EZ=\sum_{i=1}^{\infty}\sum_{j=1}^{\infty}g(x_i,y_j)p_{ij}=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}g(x,y)f(x,y)dx dy$$

• 最大值的处理

$$max(X,Y)=\frac{X+Y}{2}+\frac{|X-Y|}{2}$$

$$E[max(X,Y)]=\frac{EX+EY}{2}+\frac{E|X-Y|}{2}$$

• 最小值的处理

$$min(X,Y)=\frac{X+Y}{2}-\frac{|X-Y|}{2}$$

同最大值

性质

1. $$EC=C$$

2. $$E(aX+b)=aEX+b$$

3. 当$X_1,X_2,...X_n$ 相互独立

$$E(X_1X_2...X_n)=EX_1EY_2...EX_n$$

4. $$[E(XY)]^2\le E(X^2)E(Y^2)$$

5. 当 $X\ge0$ 则 $EX\ge0$
   当 $X\ge Y$ 则 $EX\ge EY$

6. $$|EX|\le E|X|$$

方差

$$DX=E[(X-EX)^2]=E(X^2)-(EX)^2$$

条件

$E(X^2)$ 存在(对应级数/积分存在)

切比雪夫不等式 P59

$$P(|X-EX|\ge\varepsilon)\le\frac{DX}{\varepsilon^2}$$

性质

1. $$DC=0$$

2. $$D(aX+b)=a^2X$$

3. 当$X_1,X_2,...X_n$ 相互独立

$$D(X_1+X_2+...+X_n)=DX_1+DX_2+...+DX_n$$

协方差

$$Cov(X,Y)=E[(X-EX)(Y-EY)]=E(XY)-EX EY$$

性质

1. 当X, Y 相互独立$$Cov(X,Y)=0$$
2. 分配律

$$Cov(X_1+X_2,Y_1+Y_2)=Cov(X_1,Y_1)+Cov(X_1,Y_2)+Cov(X_2,Y_1)+Cov(X_2,Y_2)$$

3. $$Cov(aX,bY)=abCov(X,Y)$$

4. 对称性

$$Cov(X,Y)=Cov(Y,X)$$

相关系数 P65

$$\rho=\frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{DX}\sqrt{DY}}$$

性质

1. $\rho\in(-1,1)$ 相关系数的绝对值越接近1, XY越成线性关系
2. $\rho=\pm1$ $XY$ 成一条直线($X+kY=n$), 斜率 $>0(\rho=1)/<0(\rho=-1)$

$$\to P(\frac{X-EX}{\sqrt{DX}}=\pm\frac{Y-EY}{\sqrt{DY}})=1$$

3. $\rho=0$ $XY$ 不成直线关系(不能说明$XY$独立, 可能$1=X^2+Y^2$)
4. $XY$ 独立则 $\rho=0$

标准化随机变量

$$Y=\frac{X-EX}{\sqrt{DX}}$$

此时 $EY=0$ $DY=1$