空间几何

方向余弦

$$\vec{a} = \{a_x, a_y, a_z\}$$

$$\cos\alpha = \frac{a_x}{|\vec{a}|},\; \cos\beta = \frac{a_y}{|\vec{a}|},\; \cos\gamma = \frac{a_z}{|\vec{a}|}$$

角度为 $\vec{a}$ 与对应坐标轴的夹角

性质

$$\cos^2\alpha + \cos^2\beta + \cos^2\gamma = 1$$

将一组与 $a_x, a_y, a_z$ 成比例的数称为 $\vec{a}$ 的方向数
一组方向数非零且与 $\vec{a}$ 共线

平面方程

一般方程

$$Ax+By+Cz+D=0$$

$\{A,B,C\}$ 为平面法向量，$D$由平面过的点决定

截距式

$$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$$

$\{a,b,c\}$ 为截距

直线方程

一般方程

$$A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0\\ A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0$$

为任意两个不同的过直线的平面

点向式

$$\frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}=\frac{z-z_0}{c}$$

$\{x_0, y_0, z_0\}$ 为直线过的点
$\{a,b,c\}$ 为直线方向矢量
$a = 0$ 时单独表示 $x = x_0$

参数方程

$$\vec{r} = \vec{r_0} + \vec{s}t$$

转换

一般式转点向式

$$\{A_1, B_1, C_1\} \times \{A_2, B_2, C_2\} = \{a,b,c\}$$

通过令 $x=0$ 求出直线上的点, 再带入直线上的点解出参数

$$\{x_0, y_0, z_0\}$$

距离问题

点到平面

$$d = \frac{|Ax+By+Cz+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$$

点到直线

$$d=\frac{|\vec{s}\times\vec{PP_0}|}{|\vec{s}|}$$

$\vec{s}$ 直线的方向矢量(直角边) $\vec{PP_0}$ 直线上的一点到计算点的矢量(斜边) 叉乘得到两者夹角乘以 $\sin\theta$

异面直线

$$\frac{|[\vec{s_1}\;\vec{s_2}\;\vec{P_1, P_2}]|}{|\vec{s_1}\times\vec{s_2}|}$$

$\vec{s_1}$ 第一条线的方向矢量 $\vec{s_2}$ 第二条线的方向矢量 $\vec{P_1, P_2}$ 直线上两点的矢量 $\vec{s_1}$，$\vec{s_2}$，$\vec{P_1, P_2}$ 构成一个三棱柱，通过混合积计算出其面积，除以 $\vec{s_1}$，$\vec{s_2}$ 构成的面，得到此面的高，即异面直线距离

角度问题

两面夹角

$$\cos\theta=\cos<\vec{n_1},\vec{n_2}>$$

两线夹角

$$\cos\theta=\cos<\vec{s_1},\vec{s_2}>$$

线面夹角

$$\sin\varphi = |\cos<\vec{n},\vec{s}>|$$

注意

$$0\le\varphi\le\frac{\pi}{2}$$

直线关系

共面

异面距离为 $0$

$$[\vec{s_1}\;\vec{s_2}\;\vec{P_1, P_2}]=0$$

平行

$$\vec{s_1}\times\vec{s_2} = 0$$

$\vec{s_1}$ 与 $\vec{s_2}$ 成比例

平面束方程 P27

$$A_1x+B_1y+C_1z+D_1+\mu(A_2x+B_2y+C_2z+D_2)=0$$

表示过直线的任意平面, 可用于求过已知直线的特定平面

曲面

旋转曲面

求任意曲线绕轴旋转得到的曲线

1. 化为参数方程 或直接令$z=t$

2. $$z=z(t)\\$$

3. $$x^2+y^2=f^2(z)$$

曲面参数方程

$$x=x(u,v)\\ y=y(u,v)\\ z=z(u,v)$$

二维, 两个参数

曲线

一般方程

$$f(x,y,z)=0\\ g(x,y,z)=0$$

两个曲面相交

参数方程

$$x=x(t)\\ y=y(t)\\ z=z(t)$$

一维, 一个参数

投影曲线

对于曲线L

$$f(x,y,z)=0\\ g(x,y,z)=0$$

消去方程组的 $z$ (投影到 $xy$ 面)得到投影曲线

$$F(x,y)=0\\ z=0$$

注意其中的 $z=0$ 不可少, 以表示 $xy$ 面上的曲线

二次曲线

椭球面

$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$$

全系数为正

单叶双曲面

$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$$

一个系数为负
$zx$ 截面为交于 $x$ 轴的双曲线
$xy$ 截面为椭圆

双叶双曲面

$$-\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$$

两个系数为负
$zx$ 截面为交于 $z$ 轴的双曲线
$xy$ 截面为椭圆或无

椭圆抛物线

$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=z$$

对照 $x^2=y$
没有常数项

椭圆锥面

$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=\frac{z^2}{c^2}$$

或

$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=0$$

注意区别, 椭圆锥面没有常数项