常微分方程

线性常微分方程 P217

齐次方程

$$y^{(n)}+a_1(x)y^{(n-1)}+a_2(x)y^{(n-2)}+...a_n(x)y=0$$

非齐次方程

$$y^{(n)}+a_1(x)y^{(n-1)}+a_2(x)y^{(n-2)}+...a_n(x)y=f(x)$$

解的结构

1. 齐次

$$y=C_1y_1+C_2y_2+...+C_ny_n$$

2. 非齐次

$$y=C_1y_1+C_2y_2+...+C_ny_n+y^*$$

$y^*$ 为方程的特解

常系数微分方程

齐次方程 P222

考虑

$$y''+ay'+by=0$$

有特征方程

$$\lambda^2+a\lambda+b=0$$

有以下情况

1. 方程有互异实根 $\lambda_1\ne\lambda_2$

$$y=C_1e^{\lambda_1x}+C_2e^{\lambda_2x}$$

2. 方程有二重实根

$$y=(C_1+xC_2)e^{\lambda x}$$

3. 方程有共轭虚根 $a+bi$

$$y=(C_1\sin bx+C_2\cos bx)e^{ax}$$

4. 高阶的情况(详见P224)
   • n重实根(其中n个线性无关解)

   $$(C_1+xC_2+...+x^nC_n)e^{\lambda x}$$

   • 多重共轭复根(其中第i个线性无关解)

   $$(C_1\sin bx+C_2\cos bx)x^ie^{ax}$$

非齐次方程 P225

考虑

$$y''+ay'+by=f(x)$$

其中 $P_m(x)$ 为m次多项式
通过判断 特解 $y^*$ 的形式, 将 $y^*$ 代入微分方程确定未知系数, 从而得到特解

含指数函数的特解

对于

$$f(x)=P_m(x)e^{ax}$$

有特解形式

$$y^*=Q(x)e^{ax}$$

其中待定函数 $Q(x)$ 根据 $a$ 的形式得到

• 当 $a$ 不是特征方程的根

$$Q(x)=Q_m(x)=b_0+b_1x+...+b_mx^m$$

• 当 $a$ 是特征方程的单根

$$Q(x)=xQ_m(x)$$

• 当 $a$ 是特征方程的 $n$ 重根

$$Q(x)=x^nQ_m(x)$$

含三角函数的特解

对于

$$f(x)=[P(x)\cos bx+Q(x)\sin bx]e^{ax}$$

其中 $P(x),Q(x)$ 为最高次为m的多项式
有解的形式

$$y^*=x^k[A(x)\cos bx+B(x)\sin bx]e^{ax}$$

其中, $A(x),B(x)$ 均为m次多项式, $k$ 为 $\lambda=a+bi$ 在原特征方程的重数

欧拉方程 P228

$$x^ny^{(n)}+a_1x^{n-1}y^{(n-1)}+...+a_ny=f(x)$$

通过代换 $x=e^t$ 化为常系数线性微分方程 规定

$$D^iy=\frac{d^iy}{dt}=y^{(i)}$$

$$D^0y=y$$

代换时有

$$xy'=Dy$$

$$x^2y''=D(D-1)y$$

$$x^ky^{(k)}=D(D-1)...(D-k+1)y$$

• 注意, 代换后 f(x) 也会改变为 t 的函数