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重积分

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重积分

多重积分时不可带入区域方程
仅线面积分时, 才可带入

二重积分

对称性 P107 P115

计算前优先考虑

  1. 区域关于坐标轴的对称性
    (带入 −x-x 区域不变)
  2. x,y,zx,y,z的轮换性
    (交换 x,y,zx,y,z 区域不变(球), 则可交换 f(x,y,z)f(x,y,z) 中的 x,y,zx,y,z)

极坐标代换 P100

x=rcos⁡θ x=r \cos\theta

y=rsin⁡θ y=r \sin\theta

∣J∣=r |J|=r

  1. 注意 x,yx, y 是否是标准的圆方程
  2. 注意计算 rr 与 θ\theta 的范围(画图)(垂直为 π2\frac{\pi}{2}), 有时 rr 可能是 θ\theta 的函数
    • e.g.

    (x−1)2+y2=1x2+y2=2xr2=2rcos⁡θ∴0≤r≤2cos⁡θ−π2≤θ≤π2 \begin{split} (x-1)^2+y^2&=1\\ x^2+y^2&=2x\\ r^2&=2r \cos\theta \end{split}\\ \therefore 0\le r\le 2\cos\theta\\ -\frac{\pi}{2}\le\theta\le\frac{\pi}{2}

  3. 代换后要乘上代换因子 ∣J∣|J|
  4. 其他注意 P122

三重积分

柱坐标代换

x=rcos⁡θ x=r \cos\theta

y=rsin⁡θ y=r \sin\theta

z=z z=z

∣J∣=r |J|=r

球坐标代换

x=rcos⁡θsin⁡φ x=r \cos\theta \sin\varphi

y=rcos⁡θsin⁡φ y=r \cos\theta \sin\varphi

z=rcos⁡φ z=r \cos\varphi

∣J∣=r2sin⁡φ |J|=r^2\sin\varphi

  • φ\varphi 为圆心到球面的矢量关于 zz 轴的夹角
  • 完整球体中 φ∈[−π2,π2]\varphi \in [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]

曲线积分

不可使用对称性
但可以将曲线方程带入被积函数化简
化为相应的多重积分时优先考虑对称性

第一型曲线积分 P132

可以使用对称性
积分对象要转化为参数方程

dl=x′2(t)+y′2(t)+z′2(t)dt dl=\sqrt{x'^2(t)+y'^2(t)+z'^2(t)}dt

∫lf(x,y,z)dl=∫t0t1f(x(t),y(t),z(t))x′2(t)+y′2(t)+z′2(t)dt \int_lf(x,y,z)dl=\int_{t_0}^{t_1}f(x(t),y(t),z(t))\sqrt{x'^2(t)+y'^2(t)+z'^2(t)}dt

第二型曲线积分 P137

不可使用对称性
积分对象要转化为参数方程
规定(注意 P,Q,RP,Q,R 是关于 x,y,zx,y,z 的函数, x,y,zx,y,z 是关于 tt 的函数(参数方程))

P=P(x,y,z)  Q=Q(x,y,z)  R=R(x,y,z) P=P(x,y,z)\;Q=Q(x,y,z)\;R=R(x,y,z)

∫L{P,Q,R}⋅dl⃗=∫LPdx+Qdy+Rdz=∫t0t1[Px′(t)+Qy′(t)+Rz′(t)]dt \int_L\{P,Q,R\}\cdot d\vec{l}=\int_LPdx+Qdy+Rdz=\int_{t_0}^{t_1}[Px'(t)+Qy'(t)+Rz'(t)]dt

格林公式 P141

区域概念

设 LL 围住区域 DD

  1. 正向 沿 LL 移动时, 如果 DD 始终在左侧, 则称 LL 的方向为正向
    • LL 为单连通时, 为逆时针方向
    • LL 为复连通时, 内部的曲线为顺时针方向
  2. 简单闭曲线 分段光滑且不与自身相交的闭曲线
    • 88 字型与自身相交不是这种曲线
    • 同心圆不相交, 符合条件

格林公式

仅用于二维

  1. LL 为简单闭曲线 且积分时沿 LL 正向
  2. DD 内与 LL 上 P,QP,Q 有一阶连续偏导

∮L{P,Q}⋅dl⃗=∫D(Qx−Py)dxdy \oint_L\{P,Q\}\cdot d\vec{l}=\int_D(Q_x-P_y)dx dy

普通曲线 P144

  1. 添加辅助线段补为闭曲线
  2. 减去补充的曲线

曲线积分与路径无关的条件 P147

DD 是单连通区域, P,QP,Q 在 DD 内有一阶连续偏导, 当在 DD 内满足以下任一条件, 曲线积分与路径无关
(D内可以是任意路径, 仅与初末点的位置有关)

du=Pdx+Qdy  ⟺  Qx=Py  ⟺  D内曲线积分与路径无关 du=Pdx+Qdy\iff Q_x=P_y\iff D\text{内曲线积分与路径无关}

曲线积分与环路路径无关的条件 P149

当存在有限个 MM 使 P,QP,Q 没有一阶连续偏导时(分母为 00)
曲线积分与环路路径无关
利用此方法可将复杂环路换为简单环路( Qx−PyQ_x-P_y 的一部分/消去分母)计算

全微分方程 P153

P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0

当存在( Qx=PyQ_x=P_y )

du=Pdx+Qdy du=Pdx+Qdy

有通解

u(x,y)=C u(x,y)=C

注意通解形式

曲面积分

但可以将曲线方程带入被积函数化简 化为相应的多重积分时优先考虑对称性

第一型曲面积分 P159

可以使用对称性

∬SF(x,y,z)dS \iint_S F(x,y,z)dS

  • 假设曲面由 z(x,y)−z=0z(x,y)-z=0 决定
  • dxdydx dy 为 dSdS 在 xyxy 平面上的投影
  • DD 为 SS 在 xyxy 平面上的投影
  • cos⁡γ\cos\gamma 为 dSdS 法矢量与 zz 轴的夹角

dS=∣dxdycos⁡γ∣ dS=|\frac{dx dy}{\cos\gamma}|

cos⁡γ=−1∣gradF(x,y,z)∣ \cos\gamma=\frac{-1}{|grad F(x,y,z)|}

dS=zx2+zy2+1dxdy dS=\sqrt{z_x^2+z_y^2+1}dx dy

∬DF(x,y,z(x,y))zx2+zy2+1dxdy \iint_D F(x,y,z(x,y))\sqrt{z_x^2+z_y^2+1}dx dy

第二型曲面积分

不可使用对称性

dS⃗=dSn⃗=dS{cos⁡α,cos⁡β,cos⁡γ}={dydz,dzdx,dxdy} d\vec{S}=dS\vec{n}=dS\{\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma\}=\{dy dz,dz dx,dx dy\}

∬SF⃗⋅dS⃗=∬SPdydz+Qdzdx+Rdxdy \iint_S\vec{F}\cdot d\vec{S}=\iint_SPdy dz+Qdz dx+Rdx dy

方向定义 P163

  • 曲面上微元 dS⃗d\vec{S} 与Z轴正方向夹角小于 90°90° 为上侧
  • 曲面上微元 dS⃗d\vec{S} 与Z轴正方向夹角大于 90°90° 为下侧
  • 注意要求的 SS 为上侧或下侧, 相反侧要取负号
  • 当 SS 相对于某个轴可能既有上侧也有下侧, 需要拆分

分散投影法 P166

∬SRdxdy=∬DR(x,y,z(x,y))dxdy \iint_SRdx dy=\iint_DR(x,y,z(x,y))dx dy

统一投影法 P167

假设曲面由 z(x,y)−z=0z(x,y)-z=0 决定

n⃗=gradF∣gradF∣=±{−zx,−zy,1}zx2+zy2+1 \vec{n}=\frac{grad F}{|grad F|}=\pm\frac{\{-z_x,-z_y,1\}}{\sqrt{z_x^2+z_y^2+1}}

dS=dxdy∣cos⁡γ∣=dxdyzx2+zy2+1 dS=\frac{dx dy}{|\cos\gamma|}=dx dy\sqrt{z_x^2+z_y^2+1}

dS⃗=±{−zx,−zy,1}dxdy d\vec{S}=\pm\{-z_x,-z_y,1\}dx dy

∬SF⃗⋅dS⃗=∬D±(−zxP−zyQ+R)dxdy \iint_S\vec{F}\cdot d\vec{S}=\iint_D\pm(-z_xP-z_yQ+R)dx dy

注意:

  1. 当 dS⃗d\vec{S} 为Z轴上侧时, cos⁡γ>0\cos\gamma>0 取正号, 否则取负号
  2. ±{−zx,−zy,1}\pm\{-z_x,-z_y,1\} 中第三项的系数为11
  3. 对于平行于 xyxy 的平面, 其方程为 z=nz=n , dS⃗=±{0,0,1}dxdyd\vec{S}=\pm\{0,0,1\}dx dy , 带入 RR 中时, 取 z=nz=n , 不是00

积分公式

哈密尔顿算子 P170

F⃗={P,Q,R} \vec{F}=\{P,Q,R\}

∇={∂∂x,∂∂y,∂∂z} \nabla=\{\frac{\partial}{\partial x},\frac{\partial}{\partial y},\frac{\partial}{\partial z}\}

散度

divF⃗=∇⋅F⃗ div\vec{F}=\nabla\cdot\vec{F}

旋度

rot⃗F⃗=∇×F⃗=∣i⃗j⃗k⃗∂∂x∂∂y∂∂zPQR∣ \vec{rot}\vec{F}=\nabla\times\vec{F}=\begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\ \frac{\partial}{\partial x}&\frac{\partial}{\partial y}&\frac{\partial}{\partial z}\\P&Q&R\end{vmatrix}

注意叉乘时向量的位置

梯度

gradF(x,y,z)=∇F grad F(x,y,z)=\nabla F

运算规则 P170

见书

高斯公式 P172

空间 VV 由闭合曲面 SS 围成, P,Q,RP,Q,R 在 VV 内与 SS 上有连续的一阶偏导数

∮SF⃗dS⃗=∭V∇F⃗dV \oint_S\vec{F}d\vec{S}=\iiint_V\nabla\vec{F}dV

SS 取曲面的外侧

普通曲面 P174

  1. 添加辅助面补为闭曲面
  2. 减去补充的曲面

Stokes公式 P176

LL 为有向闭合曲线
SS 为以 LL 为边界的任意曲面
P,Q,RP,Q,R 在 SS 与边界上一阶偏导连续
积分方向为 LL 正向

∮LF⃗⋅dl⃗=∬S∇×F⃗dS⃗=∬S∣dydzdzdxdxdy∂∂x∂∂y∂∂zPQR∣ \oint_L\vec{F}\cdot d\vec{l}=\iint_S\nabla\times\vec{F}d\vec{S}=\iint_S\begin{vmatrix}dydz&dzdx&dxdy\\ \frac{\partial}{\partial x}&\frac{\partial}{\partial y}&\frac{\partial}{\partial z}\\P&Q&R\end{vmatrix}

积分与路径无关

P,Q,RP,Q,R 在 VV 与边界上一阶偏导连续

du=Pdx+Qdy+Rdz  ⟺  ∇×F⃗=0⃗  ⟺  V内曲线积分与路径无关 du=Pdx+Qdy+Rdz\iff \nabla\times\vec{F}=\vec{0}\iff V\text{内曲线积分与路径无关}