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多元函数

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多元函数

极限

求极限

  1. 令t=x2+y2t=x^2+y^2
  2. 分离加法
  3. 夹逼

x+y2≥xy \frac{x+y}{2}\ge\sqrt{xy}

  1. 因式分解

x3+y3x+y=x2−xy+y2 \frac{x^3+y^3}{x+y}=x^2-xy+y^2

  1. lim⁡x→0(1+x)1x=e \lim_{x\to0}(1+x)^{\frac{1}{x}}=e

错误注意

lim⁡x→0(1+1x)x=1 \lim_{x\to0}(1+\frac{1}{x})^{x}=1

极限不存在

  1. 趋近于无穷(使分母为0)
  2. 令 y=f(x)y=f(x) (y=0y=0 或 y=kxy=kx) 极限结果不唯一, 与 kk 有关

微分学

偏导

fx=lim⁡Δx→0f(x+Δx,y)−f(x,y)Δx f_x=\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(x+\Delta x,y)-f(x,y)}{\Delta x}

连续

lim⁡P→P0F(P)=F(P0) \lim_{P\to P_0}F(P) = F(P_0)

偏导存在但不连续

f(x,y)={xyx2+y2,  x2+y2≠0,0,  x2+y2=0 f(x,y)=\begin{cases} \frac{xy}{x^2+y^2}&,\;x^2+y^2\ne 0,\\ 0&,\;x^2+y^2=0 \end{cases}

令 y=kxy=kx 极限与 kk 有关,不存在

连续但偏导不存在

f(x,y)=x2+y2 f(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}\\

f(0,0)f(0,0) 处 x,yx,y 偏导均为无穷(不存在)

混合偏导

fxy,  fyxf_{xy},\;f_{yx}存在且连续时有 fxy=fyxf_{xy}=f_{yx}

全微分

  1. 当f(P)f(P)可微, 则fx(P)f_x(P) 与 fy(P)f_y(P)存在且

df(P)=fx(P)dx+fy(P)dy+o(ρ) df(P)=f_x(P)dx+f_y(P)dy+o(\rho)

  1. 当Fx(P)F_x(P) 与 Fy(P)F_y(P) 存在且偏导数连续则 F(x,y)F(x, y) 于 PP 处可微(仅充分条件)
  2. 当Fx(P)F_x(P) 与 Fy(P)F_y(P) 不连续时满足

lim⁡ρ→0[f(x+Δx,y+Δy)−f(x,y)]−fx(x,y)Δx−fy(x,y)Δyρ=0 \lim_{\rho\to 0}\frac{[f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y)]-f_x(x,y)\Delta x-f_y(x,y)\Delta y}{\rho}=0

ρ=Δx2+Δy2 \rho=\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}

也可微(定义的变形, 用于不连续的情况) 4. 可微则一定有一阶偏导且原函数连续, 连续不一定可微

复合微分 P60

  1. 记号 设 f(x1,x2,...,xi,...)f(x_1,x_2,...,x_i,...) 记 fi′=∂f∂xif'_i=\frac{\partial f}{\partial x_i}
  2. 对所有含微分变量的函数求偏导, 乘法注意乘法法则 对于 f(x,xy)f(x,xy) f1′f'_1 也是y的函数, 不能忽视

隐函数微分 P65

  • 找出自变量(题目最终要求的偏导的自变量, 其他均看作关于自变量的函数)
  • 全微分后对所有式子除以自变量的微分(自变量组则分别除以自变量组中的自变量)
  • 除了自变量组以外的因变量除以自变量的微分时, 变为偏微分, 且不可消去

  1. dx=f1du+f2dv dx=f_1du+f_2dv\\

  2. dy=g1du+g2dv dy=g_1du+g_2dv\\

  3. 结合两个方程解出 ∂u∂x\frac{\partial u}{\partial x} 与 ∂v∂x\frac{\partial v}{\partial x}

微分学几何应用

方向导数 P69

  • 对于向量 n⃗\vec{n}, 沿 n⃗\vec{n} 方向的导数为

∂f(P)∂n=lim⁡s→0+f(P+sn⃗)−f(P)s∣n⃗∣ \frac{\partial f(P)}{\partial n}=\lim_{s\to 0^+}\frac{f(P+s\vec{n})-f(P)}{s|\vec{n}|}

注意, 由于方向导数中 s→0+s\to 0^+ 与偏导不同, 因此轴向的方向导数的值与对应偏导无关

  • 当 f(P)f(P) 可微, 有

∂f(P)∂n={fx(P),fy(P),fz(P)}⋅n0⃗ \frac{\partial f(P)}{\partial n}=\{f_x(P),f_y(P),f_z(P)\}\cdot \vec{n^0}

梯度

gradf(P)={fx(P),fy(P),fz(P)}=∇f(P) grad f(P)=\{f_x(P),f_y(P),f_z(P)\}=\nabla f(P)

意义

对于曲面 F(x,y,z)=mF(x, y, z)=m

  1. mm 的各个取值构成无数个曲面层
  2. 取层上的点P处微面 dSmdS_m , dSmdS_m 近似为平面, 且平行于 dSm+dmdS_{m+dm}
  3. gradf(P)grad f(P) 为使方向导数最大的方向, 在此方向, 到达 dSm+dmdS_{m+dm} 距离最短
  4. 两平面间, 垂直线段距离最短
  5. gradf(P)grad f(P) 即为法矢量

曲线应用 P73

有无数条线垂直于曲线 →\to 唯一法平面
曲线上的一点只有唯一切线
设

L:r⃗=s⃗(t) L:\vec{r} =\vec{s}(t)

r⃗(t)=P{x0,y0,z0} \vec{r}(t)=P\{x_0, y_0, z_0\}

有切矢量

r′⃗(t)={x′(t),y′(t),z′(t)} \vec{r'}(t)=\{x'(t),y'(t),z'(t)\}

当 r′⃗\vec{r'} 连续, 存在且 r′⃗≠0⃗\vec{r'}\ne\vec{0} 则 r⃗\vec{r} 为光滑曲线
切线(以切矢量为方向矢量), 法平面(以切矢量为法矢量)具体见书

一般方程曲线的切矢量

设曲线方程:

F(x,y,z)=0G(x,y,z)=0 F(x,y,z)=0\\ G(x,y,z)=0

曲线于P的切矢量必然垂直于两曲面的法矢量

∴r′⃗(P)=gradF(P)×gradG(P) \therefore \vec{r'}(P)=grad F(P) \times grad G(P)

曲面应用

平面有法矢量 →\to 曲面上一微元视为平面, 也有唯一法线 有无数条线可以切于平面的一点 →\to 有唯一切平面 设曲面(两个自由度, 为面)

F(x,y,z)=C F(x, y, z)=C

其切矢量为

gradF grad F

自由极值 P80

驻点

fx(P)=fy(P)=0f_x(P)=f_y(P)=0 成P为 f(x,y)f(x,y) 的驻点

极值点充分条件

对于驻点 P0P_0

Δ=fxxfyy−fxy2 \Delta = f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^2

  1. Δ>0,A<0  P0\Delta>0, A<0\;P_0 为极小值点
  2. Δ>0,A>0  P0\Delta>0, A>0\;P_0 为极大值点
  3. Δ<0\Delta<0 不是极值点
  4. Δ=0\Delta=0 不确定

求极值

  1. 找出区域内所有驻点
  2. 找出区域内一阶偏导不存在的点
  3. 找出边界上所有极值点
  4. 比较所有受检点, 得出极值于极值点

条件极值 P84

已知 g(x,y)=0g(x,y)=0 求函数 z=f(x,y)z=f(x,y) 极值 构造辅助变量 λ\lambda 构造辅助函数

L(x,y,λ)=f(x,y)+λg(x,y) L(x,y,\lambda)=f(x,y)+\lambda g(x,y)

检验 L(x,y,λ)L(x,y,\lambda) 的所有驻点, 即可求出条件极值

多条件极值

L(x,y,λ,μ)=f(x,y)+λg(x,y)+μh(x,y) L(x,y,\lambda, \mu)=f(x,y)+\lambda g(x,y)+\mu h(x,y)

其他同

隐函数极值

已知 f(x,y,z)=0f(x,y,z)=0 (条件)求 max{z}max\{z\} (目标) 即

L(x,y,z,λ)=z+λf(x,y,z) L(x,y,z,\lambda)=z+\lambda f(x,y,z)