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级数

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级数

级数性质 P187

  1. 当级数收敛

lim⁡n→∞an=0 \lim_{n\to\infty}a_n=0

  1. 绝对收敛的级数任意改变加的顺序结果不变
    条件收敛/发散的数列改变加的顺序结果不唯一
  2. an≥bna_n\ge b_n 有 ∑an≥∑bn\sum a_n\ge\sum b_n

正项级数 P188

称 an≥0a_n\ge0 的级数为正项级数, 以下判别法仅用于正项级数
使用以下判别法时必须保证数列上的项大于等于 00

  1. an≥0 a_n\ge 0

  2. ∣an∣ |a_n|

  3. an2 a_n^2

一般比较判别法 P188

  • 条件: nn 足够大时有 an≥bna_n\ge b_n
  • 当 ana_n 收敛则 bnb_n 收敛
  • 当 bnb_n 发散则 ana_n 收敛

极限比较判别法

lim⁡n→∞anbn=l \lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=l

  • l=∞l=\infty ana_n 收敛则 bnb_n 收敛
  • l=0l=0 ana_n 发散则 bnb_n 发散
  • 极限存在且不为 00 ana_n 与 bnb_n 敛散性相同

比值判别法 P189

lim⁡n→∞an+1an=l \lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=l

  • l>1l>1 级数发散
  • l<1l<1 级数收敛
  • l=1l=1 不确定
  • 用于含有阶乘的级数
  • 含有积分时可用洛必达法则

根值判别法

lim⁡n→∞ann=l \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=l

  • l>1l>1 级数发散
  • l<1l<1 级数收敛
  • l=0l=0 不确定
  • 用于含有n次方的级数

积分判别法 P190

  • 条件: f(x)f(x) 在 [1,+∞)[1, +\infty) 非负且单调递减
  • 当 ∫1∞f(x)dx\int_1^\infty f(x)dx 收敛时, 级数 an=f(n)a_n=f(n) 收敛
  • 用于级数为分数时

比阶判别法 P191

lim⁡n→∞npan=l \lim_{n\to\infty}n^pa_n=l

lim⁡n→∞an∼lim⁡n→∞n−p \lim_{n\to\infty}a_n\sim\lim_{n\to\infty}n^{-p}

  • 级数 ∑1n\sum\frac{1}{n} 发散
  • 要求极限结果 ll 存在
  • p>1  0≤l<∞p>1\;0\le l<\infty 级数收敛
  • p≤1  0<l≤∞p\le1\;0<l\le\infty 级数发散
  • 通过寻找 ana_n 的等价无穷小判断p

常用等价无穷小

x∼sin⁡x∼tan⁡x∼arcsin⁡x∼arctan⁡x  (x→0) x \sim \sin x \sim \tan x \sim \arcsin x\sim \arctan x\;(x \to 0)

1−cos⁡x∼x2(x→0) 1-\cos x\sim x^2(x \to 0)

(1+x)n−1∼nx  (x→0) (1+x)^n - 1 \sim nx\;(x \to 0)

lim⁡x→∞(1+1x)x=lim⁡x→0(1+x)1x=e \lim_{x\to \infty}(1 + \frac{1}{x})^x = \lim_{x\to 0}(1 + x)^{\frac{1}{x}}=e

ax−1=exln⁡a−1∼xln⁡a a^x - 1 = e^{x \ln a} - 1 \sim x \ln a

ln⁡(1+x)∼x(x→0) \ln(1 + x) \sim x(x \to 0)

变号级数

变号级数为正项与负项有无限多的级数

莱布尼兹判别法 P193

ana_n 为正项级数
当 ∣an∣|a_n| 严格单调递减且收敛于0时有

∑(−1)nan=S \sum(-1)^na_n = S

收敛, 且 S≤a0S\le a_0

特殊的莱布尼兹判别法

当 ∣an∣|a_n| 从某项开始单调递减且收敛于0时有 ∑(−1)nan=S\sum(-1)^na_n = S 收敛
但 S≤a0S\le a_0 不成立

绝对/条件收敛 P194

∑∣an∣=S \sum|a_n|=S

∑an=S′ \sum a_n=S'

  • SS 存在表明 ana_n 绝对收敛, 且 S′S' 存在
  • S′S' 存在, SS 不存在表明 ana_n 条件收敛
  • 仅绝对收敛可以任意改变求和顺序而不影响结果

幂级数 P203

幂级数定义

∑anxn \sum a_nx^n

或

∑an(x−x0)n \sum a_n(x-x_0)^n

ana_n 为系数

收敛半径

对于幂级数都存在一个收敛半径 RR

  • 幂级数在 x∈(−R,R)x\in(-R,R) 内级数绝对收敛且一致收敛(可积分求导)
  • 幂级数在 x∉[−R,R]x\notin[-R,R] 级数发散
  • x=±Rx=\pm R 时, 需要单独验证 绝对/条件收敛或发散
  • 推论: 幂级数只会在收敛半径处条件收敛 (x0=0x_0=0)
  • 收敛半径求法
  • 求类幂级数的收敛半径 P204

lim⁡n→∞∣an+1an∣=1R \lim_{n\to\infty}|\frac{a_{n+1}}{a_n}|=\frac{1}{R}

泰勒级数 P208

ex=∑n=0∞xnn! e^x=\sum_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n!}

sin⁡x=∑n=1∞(−1)n+1x2n−1(2n−1)! \sin x=\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}x^{2n-1}}{(2n-1)!}

cos⁡x=∑n=0∞(−1)nx2n(2n)! \cos x=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^nx^{2n}}{(2n)!}

级数从 00 开始

11−x=∑n=0∞xn;  x∈(−1,1) \frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^\infty x^n ;\;x\in(-1,1)

错位相减法 注意收敛范围 级数从 11 开始

ln⁡(x+1)=∑n=1∞(−1)n+1xnn;  x∈[−1,1) \ln(x+1)=\sum_{n=1}^\infty(-1)^{n+1}\frac{x^n}{n};\;x\in[-1,1)

(求导后, 用 −x-x 代换得到上式)

求函数的泰勒展开

f(x−x0)=∑i=0∞f(x0)(i)n!(x−x0)i f(x-x_0)=\sum_{i=0}^{\infty}\frac{f(x_0)^{(i)}}{n!}(x-x_0)^{i}

  1. 注意要求展开的 x0x_0
  2. x0≠0x_0\ne0 可令 t=x−x0t=x-x_0
  3. 展开前提出常数 ex+5=e5exe^{x+5}=e^5e^x
  4. 展开(对数或分数) F(x)=g(x)+f(x)F(x) = g(x) + f(x) 新的收敛范围为两个函数收敛范围的交集

由泰勒展开求函数 P212

  1. 对于含有 nn 的项可以整体求导
    • eg

    ddx(∑n=0∞xn)=∑n=0∞nxn−1=1(1−x)2 \frac{d}{dx}(\sum_{n=0}^\infty x^n)=\sum_{n=0}^\infty nx^{n-1}=\frac{1}{(1-x)^2}

  2. 对于缺少的 xx 可以直接乘上( xx 视为常数)
    • eg

    ∑n=0∞xn+1=x∑n=0∞xn=x1−x \sum_{n=0}^\infty x^{n+1}=x\sum_{n=0}^\infty x^n=\frac{x}{1-x}

  3. 含 n!n! 时, 套用 ex  sin⁡x  cos⁡xe^x\;\sin x\;\cos x
  4. 化为常微分方程 寻找 SS, S′S', S′′S'' 等的关系
  5. 错位相减
  6. 整体代换(n的系数不为1时)
    • eg

    ∑n=0∞x2n=∑n=0∞(x2)n=11−x2 \sum_{n=0}^\infty x^{2n}=\sum_{n=0}^\infty (x^2)^{n}=\frac{1}{1-x^2}

傅里叶级数 P217

{12π,1πcos⁡nθ,1πsin⁡mθ} \{\frac{1}{\sqrt{2\pi}},\frac{1}{\sqrt{\pi}}\cos n\theta,\frac{1}{\sqrt{\pi}}\sin m\theta\}

函数组中任意两个函数乘积在 [−π,π][-\pi,\pi] 上的积分结果为 00
函数组中相同的函数乘积在 [−π,π][-\pi,\pi] 上的积分结果为 11

由此有傅里叶级数

an=1π∫−ππf(x)cos⁡nxdx a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos nx dx

bn=1π∫−ππf(x)sin⁡nxdx b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin nx dx

a0=1π∫−ππf(x)dx a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x) dx

f(x)∼a02+∑n=1∞(ancos⁡nx+bnsin⁡nx) f(x)\sim \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty(a_n \cos nx+b_n \sin nx)

注意

  • a0a_0 有一个系数 12\frac{1}{2}
  • 级数的下限为 11
  • 必须使用 ∼\sim 连接

Dirichlet条件

  1. f(x)f(x) 在 [a,b][a,b] 上连续或只有有限个第一类间断点
    • 1x\frac{1}{x} 在 00 处为第二类间断点
  2. f(x)f(x) 在 [a,b][a,b] 上分段单调或可微

当函数在 [−π,π][-\pi,\pi] 满足此条件则其傅里叶级数处处收敛, 周期为 2π2\pi

傅里叶级数在特殊点的结果

S(x)={f(x),x∈(−π,π)且f在x连续,f(x+)+f(x−)2,x∈(−π,π)且f在x不连续,f((−π)+)+f((π)−)2,x=±π S(x)=\begin{cases} f(x),x\in(-\pi,\pi)\text{且}f\text{在}x\text{连续},\\ \frac{f(x^+)+f(x^-)}{2},x\in(-\pi,\pi)\text{且}f\text{在}x\text{不连续},\\ \frac{f((-\pi)^+)+f((\pi)^-)}{2},x=\pm\pi \end{cases}

当 f(x)f(x) 为分段函数时特别注意其间断点应使用左右极限的极值的平均值

正弦/余弦级数

  • 当 f(x)f(x) 为奇函数, an=0a_n=0 , 级数中仅有正弦函数, 称为正弦级数
  • 当 f(x)f(x) 为偶函数, bn=0b_n=0 , 级数中仅有余弦函数, 称为余弦级数

奇/偶延拓

对于一个函数仅在 [0,π][0,\pi] 定义时, 可以假设为奇/偶函数并展开为正弦/余弦级数 即仅计算 ana_n / bnb_n 注意:

  1. 奇延拓 S(x)=0,  x=π或0S(x)=0,\;x=\pi \text{或} 0 (奇函数与 x=0x=0 的值为 00)
  2. 偶延拓
    • S(x)=f(0+),  x=0S(x)=f(0^+),\;x=0
    • S(x)=f(π−),  x=πS(x)=f(\pi^-),\;x=\pi
  3. 注意奇延拓与偶延拓的取值与一般展开的区别
  4. 偶延拓中第一项仍然是 a02\frac{a_0}{2}
  5. 奇延拓 将 f(x)f(x) 直接视为奇函数, 奇函数乘奇函数为偶函数, 使用对称性, 乘上系数 22, 区间变为(0,π)(0,\pi)

bn=2π∫0πf(x)sin⁡(nx)dx b_n=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}f(x)\sin(nx)dx

  1. 偶延拓 同上, 乘上系数 22, 区间变为 (0,π)(0,\pi)

an=2π∫0πf(x)cos⁡(nx)dx a_n=\frac{2}{\pi}\int_0^{\pi}f(x)\cos(nx)dx