平面四杆机构

平面四杆机构的基础

四杆机构的结构

1. 固定的杆 (通常为两固定铰链的连线) 为机架
2. 与机架相连的杆为连架杆, 必定做圆周运动, 根据圆周运动是否完整又分为曲柄 (可以做完整的圆周运动) 与摇杆
3. 与机架相对的杆为连杆, 连杆的运动规律通常比较复杂

机构的演化

1. 对于确定轨迹的摇杆, 可用一段圆弧导轨代替摇杆
2. 当圆弧圆心位于无限远时, 圆弧变为直线, 圆心所在的转动副变为移动副
3. 对于杆长过短时, 使用偏心圆代替杆 (注意分析自由度时应使用连杆替换偏心圆)

平面四杆机构的特性

平面四杆机构存在条件

1. 为了使平面四杆机构中的杆件能够连接为一个封闭图形, 需要满足, 即最长杆长度小于其他杆长之和

$$a+b+c\ge d$$

2. 仅当满足此条件时平面四杆机构才能存在, 因此通常平面四杆机构中杆件的长度不能无限长

曲柄存在条件

1. 杆长和条件 最短杆 $a$, 最长杆 $b$ 长度之和小于或等于另外两杆 $c,d$

$$a+b\le c+d$$

1. 曲柄位置条件 在满足杆长和条件后, 当最短杆不为连杆时, 则存在曲柄

普通平面四杆机构的分类

1. 曲柄摇杆机构 最短杆为连架杆, 此时最短杆即曲柄
2. 双曲柄机构 最短杆为机架, 此时两连架杆均为曲柄
3. 双摇杆机构 当不满足杆长和条件或最短杆为连杆时, 没有曲柄

曲柄滑块机构的曲柄条件

1. 定义曲柄长 $a$, 连杆长 $b$, 偏置 $e$, 假设轨道无限长
2. 曲柄的轨迹为一条圆形, 即圆形上每一点均能通过连杆到达轨道
3. 可得圆形轨迹上到轨道最远距离即 $e+a$
4. 因此存在曲柄的条件为 $b>e+a$

导杆机构的曲柄条件

1. 定义曲柄长 $a$, 导杆偏置 $e$, 曲柄与摆杆铰链距离 $d$, 假设轨道无限长
2. 由于滑块最低不能到偏置区域, 因此可得曲柄条件为 $d>a+e$
3. 当曲柄足够长时, 滑块的轨迹完全包含了偏置区域, 则导杆也可以做圆周运动, 此时有 $a>e+d$

输出件的急回特性

1. 对于曲柄摇杆机构, 将曲柄作为输入件, 摇杆作为输出件
2. 此时, 曲柄做等角速度的圆周运动, 而摇杆则做往复运动
3. 由于摇杆的两个极限位置对应的曲柄转角不相同, 因此摇杆的往复两个行程的速度并不相同, 称为急回特性
4. 通常工作行程 $\varphi_1$ 要求速度慢以输出大功率, 空回行程 $\varphi_2$ 要求速度快以迅速回复, 通过改变曲柄转动方向, 可改变两个行程的方向
5. 当曲柄与连杆共线时, 摇杆达到极限位置, 由于曲柄与连杆存在重叠与分离两种共线状态, 因此共有两个极限位置; 取曲柄在这两个极限位置下的锐角为极位夹角 $\theta$

行程速度变化系数

• 通过引入行程速度变化系数 $k$ 来表明急回特征
• $k$ 值为工作行程与空回行程下时间之比, 满足 (注意曲柄为匀角速度)

$$k=\frac{\varphi_1/\omega}{\varphi_2/\omega}=\frac{180^\circ+\theta}{180^\circ-\theta}\ge 1$$

• 当行程速度变化系数 $k$ 已知时, 可确定极位夹角

$$\theta=180^\circ\frac{k-1}{k+1}$$

存在急回特性的条件

1. 原动件等角速整周转动 (通常即曲柄)
2. 输出件具有正、反行程的往复运动 (也可以是滑块的往复运动, 但不可是圆周运动)
3. 极位夹角 $\theta>0$ (不能等于 $0$, 因此无偏置曲柄滑块没有急回特性)

传动角与压力角

1. 在不计惯性力与重力的条件下, 四杆机构中的杆件仅受来自铰链的力, 且均为二力杆
2. 在曲柄摇杆机构中, 从动件摇杆受到来自连杆的驱动力 $F$
3. 将 $F$ 沿摇杆的运动方向 (即垂直于摇杆方向) 分解, 得到平行于速度的分量 $F_1$ 与垂直于速度的分量 $F_2$
4. 其中 $F_1$ 做功, $F_2$ 不做功, 仅对摇杆产生压力, 因此 $F_1$ 越大, 机构的传力效果越好
5. 定义传动角 $\gamma$ 用于体现传动力 $F_1$ 的大小, 传动角越大, $F$ 在传动力方向的分量越大, 满足 (注意传动角是压力与驱动力的夹角) $F_1=F\sin\gamma$
6. 定义压力角 $\alpha$ 用于体现压力 $F_2$ 的大小, 压力角越大, $F$ 在压力方向的分量越大, 满足 (注意压力角是传动力与驱动力的夹角) $F_2=F\sin\alpha$
7. 压力角于传动角之间满足关系 $\gamma+\alpha=90^\circ$
8. 注意压力角与传动角反映的是连杆与从动件之间关系, 因此对于同一机构, 从动件不同, 压力角与传动角不同
9. 注意压力角与传动角的大小随机构运动状态改变, 通常校核最小传动角或最大压力角
10. 通常要求机构在其工作行程中避开最大压力角所在位置,

曲柄摇杆机构的最大压力角

• 在曲柄连杆机构中, 以曲柄作为输入件时可得传动角 $\gamma$ 与连杆摇杆夹角 $\delta$ 满足关系

$$\gamma=\begin{cases}\delta,&\delta<180^\circ\\180^\circ-\delta,&\delta\ge180^\circ\end{cases}$$

• 当曲柄 $AB$ 与机架 $AD$ 不重叠平行时取得 (通过作图法得出) $\delta_{max}$
• 当曲柄 $AB$ 与机架 $AD$ 重叠平行时取得 (通过作图法得出) $\delta_{min}$
• 最小传动角满足 $\gamma_{min}=\min(\delta_{min},180^\circ-\delta_{max})$

曲柄滑块机构的最大压力角

• 注意滑块的运动方向为导轨所在直线, 因此传动力的方向即导轨方向, 与驱动力的夹角即压力角 $\alpha$
• 由于连杆长度不变, 因此当 $B$ 距离导轨最远时, 取得最大压力角, 满足

$$\alpha_{max}=\arcsin\frac{a+e}{b}$$

异形机构的压力角

1. 对于任意异形二力杆作为传动件时, 注意二力杆上的力始终沿两受力点所在直线, 与杆件形状无关
2. 对于凸轮作为传动件时, 注意凸轮的驱动力方向为凸轮与滚子接触点的公法线
3. 对于套筒为传动件时, 注意套筒仅能产生垂直于滑轨方向的力, 因此驱动力垂直于滑轨
4. 当从动件与铰链连接时, 从动件绕固定铰链旋状, 因此速度方向为圆周轨迹的切线方向
5. 当从动件为套筒时, 速度方向即导轨方向

死点

1. 当传动角 $\gamma=90^\circ$ 时, 无论驱动力多大, 均不能使机构运动, 称为死点
2. 死点通常出现在以摇杆为主动件, 曲柄或摇杆为从动件或平行四边形机构等情况 (脚踏缝纫机)
3. 也可利用死点实现机构结构的固定等效果

设计平面四杆机构

几何法要求

1. 使用几何法前必须指定比例尺 $a:b$, 其中 $a$ 为图上的尺寸, $b$ 为对应实际长度的尺寸
2. 在确定比例尺后有长度比例 $\mu_l=\frac{b}{a}$ (注意与比例尺相反)
3. 量取图上的长度, 得到实际长度, 有计算式 $l_{AB}=\overline{AB}\mu_l$

给定速度变化系数设计连杆机构

设计四杆机构

1. 已知条件: 摇杆长度 $l_cd$, 摇杆摆角 $\psi$, 行程速度变化系数 $k$
2. 设计步骤
   1. 根据 $k$ 计算出极位夹角
   2. 取任意一点作为固定铰链 $D$, 根据摆角 $\psi$ 与摇杆长度做等腰三角形即可确定摇杆的两个极限位置
   3. 极限位置与曲柄铰链 $A$ 之间连线的夹角即极位夹角 $\theta$, 根据圆心角定律, 假设 $\Delta AC_1C_2$ 在一个辅助圆上, 根据圆心角定律, 弦 $C_1C_2$ 的圆心角为 $2\theta$, 因此以 $C_1C_2$ 为底边, 做底角为 $90^\circ-\theta$ 的等腰三角形即可得到辅助圆圆心 $O$
   4. 做出辅助圆后, 曲柄铰链 $A$ 可以是圆上任意一点, 具体根据额外的约束条件确定
   5. 得到 $A$ 后, 将其与极限位置连线, 长度分别为 $AC_1=BC-AC,\;AC_2=AB+BC$, 以此可解出四杆机构

设计曲柄滑块机构

1. 已知条件: 滑块移动的行程 $h$ (即极限位置距离), 曲柄铰链与导轨的偏距 $e$, 行程速度变化系数 $k$
2. 设计步骤
   1. 根据 $k$ 计算出极位夹角
   2. 由于滑块移动的行程已知, 因此做线段 $C_1C_2$ 即可得到滑块的极限位置
   3. 使用与四杆机构同样方法做出辅助圆
   4. 根据偏距 $e$, 做平行于 $C_1C_2$ 且距离为 $e$ 的直线截取辅助圆可得到曲柄圆心 $A$ 位置 (注意未说明时, 偏距可向上或向下取)
   5. 使用与四杆机构同样方法得到曲柄与连杆长度

设计曲柄摆杆机构

1. 已知条件: 机架长度 $l_{AD}$, 行程速度变化系数 $k$
2. 设计步骤
   1. 根据 $k$ 计算出极位夹角
   2. 对于曲柄摆杆机构, 摆角与极位夹角相同, 有 $\psi=\theta$, 因此可做出摆杆在极限位置的状态
   3. 以 $A$ 为圆心做圆与极限位置摆杆相切, 圆的半径即曲柄长度

给定轨迹设计连杆机构

使用刚化反转法解决此类问题

已知条件

1. 已知其中一个连架杆 $AB$ 的长度
2. 已知机架为位置 $AD$
3. 对于点 $M$ 在连杆 $BC$ 上 (注意连杆整体不做圆周运动) 或连架杆 $CD$ 上, 已知某时刻的 $AB_i$ 下, $M_i$ 的位置

推导条件

1. 通过题目条件即可确定 $ABD$ 点的位置, 而 $C$ 点为待求点
2. 点 $M$ 与其所在的杆件组成一个三角形刚体, 因此 $M$ 到杆上另外两点的距离始终不变
3. 如果将待求杆件固定视为机架, 将机架视为活动部件, 此时 $M$ 点的位置也将保持不变

设计步骤

1. 画出各个状态下所有已知点的位置
2. 刚化 $M$ 所在的杆件
   1. 当 $M$ 在 $BC$ 上, 则 $M_i$ 到已知点 $B_i$ 距离不变, 将图形整体旋转平移至与 $B_0M_0$对齐
   2. 当 $M$ 在 $CD$ 上, 则 $M_i$ 到已知机架端点 $D$ 距离不变, 将图形旋转至于 $M_0D$ 对齐
3. 找出刚化杆件的另一个固定支点 $C$
   1. 当 $M$ 在 $BC$ 上, 则转换后的 $D'_i$ 点将绕刚化固定支点 $C$ 做圆周运动, 因此通过中垂线即可确定 $C'$ 的位置
   2. 当 $M$ 在 $CD$ 上, 则转换后的 $B'_i$ 点将绕刚化固定支点 $C$ 做圆周运动, 因此通过中垂线即可确定 $C'$ 的位置
4. 量取各根杆的长度即可得到目标四杆机构

其他条件下的刚化反转法

1. 对于给出多状态, 已知四杆机构中的三个点 $ABD$ , 求非机架点 $C$ 位置的题目均可采用刚化反转法
2. 刚化反转的目标均为 $C$ 所在的杆, 且已知杆的转动角度等大致状态以反转
3. 通过反转后的一个点绕 $C'$ 转动的特点, 通过中垂线求出 $C'$