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V 带传动设计

设计分析

几何分析

对于 V 带轮的几何尺寸的选用标准值, 可参考 GB/T 11544

基准面

1. 定义 V 带轮弯曲时的中性面位置为基准面
2. 基准面在带轮上构成圆周即节圆

参数名	字母代号	定义
节宽	$b_p$	基准面在带轮截面上的宽度
基准长度	$L_d$	整根 V 带沿基准面的长度
楔角	$\alpha$	标准值 $40^\circ$, V 带截面底部延长线的夹角

侧面尺寸

对于简图, 通常绘制带轮在节圆上的形态, 截面参数也是相对于节圆而言

参数名	字母代号	定义
带轮包角	$\alpha$	V 带与带轮接触圆弧的圆心角, 通常 $\alpha_1<\pi/2<\alpha_2$
中心距	$a$	两个带轮轴之间的距离
基准直径	$d_d$	带轮上基准面到轴心的距离即节圆直径

力学分析

受力分析

1. 当转动时, 带轮将受到来自 V 带的摩擦力
2. 在静止情况下, 主动轮以 $n_1$ 转动, 从动轮静止, 摩擦力总是使物体相对静止
3. 初始状态下, 主动轮转动, V 带静止, V 带相对于主动轮向与转动反方向移动, 因此受到转动方向的摩擦力, 因此 V 带在主动轮一侧, 来自主动轮的摩擦力 $F_f$ 与主动轮转动方向相同
4. 初始状态下, V 带转动, 从动轮静止, V 带相对于从动轮向与转动同方向移动, 因此受到与转动方向相反的摩擦力, 因此 V 带在从动轮一侧, 来自从动轮的摩擦力 $F_f$ 与从动轮转动方向相反
5. 沿中线截开 V 带可得, 为了平衡摩擦力, V 带内还存在正拉力 $F_1$ 与 $F_2$, 并且 $F_1>F_2$ (截面法)
6. 得到 V 带的受力如图, 其中 $F_1$ 与 $F_2$ 为内力

受力计算

• 对 V 带采用截面法, 分析其中一侧的拉力 $F_1$ 与 $F_2$ 与摩擦力的关系
• 定义有效拉力 $F=F_f$
• 带轮在安装时, 内部就已经存在拉力, 称为预紧力 $F_0$
• 当带轮匀速转动时 (不考虑角加速度与转动惯量的问题), 分析带轮上受力如图, 对于单个带轮, 根据力矩平衡有

$$(F_f+F_2)\cdot r_d=F_1\cdot r_d\to F=F_f=F_1-F_2$$

• 假设带长不变, 作用在 V 带上的总拉力不变, 因此有

$$F_0=\frac{1}{2}(F_1+F_2)$$

• 定义非圆弧上的 V 带中, 由于 $F_1>F_2$, 两侧拉力为 $F_1$ 的一边为紧边, 另一边为松边
• 根据欧拉公式, 当达到静摩擦极限 $F_{flim}$ 时 ($f$ 摩擦系数, $\alpha$ 包角)

$$F_1/F_2=e^{f\alpha}$$

• 整理公式可得

$$F_{flim}=2F_0(1-\frac{2}{e^{f\alpha}+1})>F$$

应力分析

1. 拉应力
   1. 由 V 带受力可得, V 带处处存在正拉力, 其中紧边与松边的正拉力即 $F_1$ 与 $F_2$, 圆弧段上则介于中间
   2. 紧边拉应力为 $\sigma_1=F_1/A$
   3. 松边拉应力为 $\sigma_2=F_2/A$
   4. 接触圆弧拉应力 $\sigma_1>\sigma>\sigma_2$
   5. 因此紧边拉应力最大, 松边最小, 圆弧介于中间
2. 离心拉应力
   1. 带轮转动时, 圆弧上的 V 带还受到一个离心力
   2. 通过两侧的额外拉力, 与离心力平衡, 此额外拉力产生的应力称为离心拉应力 ($q$ 为单位长度的 V 带质量) $\sigma_c=\frac{qv^2}{A}$
   3. 由于此额外拉力在圆弧上处处相同, 为了平衡, 此拉力在两边上也必定相同, 因此离心拉应力对于整个 V 带上各点相等
3. 弯曲应力
   1. 由于 V 带在带轮部分弯曲, 因此与带轮接触的部分还有弯曲拉应力, 而在两边上不存在
   2. 根据弯曲拉应力公式可得 ($y$ 为微面到中心面的距离, 公式见材料力学 P80) $\sigma_b=\frac{2Ey}{d_d}$
   3. 由于主动轮 $d_d$ 更小, 带轮最外侧 $y$ 取最大, 因此主动轮最外侧上的弯曲应力最大
   4. 为了防止弯曲应力过大, 需要规定带轮的最小基准直径 $d_{d lim}$
4. 最大应力
   1. 根据对三种应力的分析可得, 带轮的最大应力处为紧边开始进入小带轮处
   2. 满足 $\sigma_{max}=\sigma_1+\sigma_c+\sigma_{b1}$

弹性滑动

1. V 带在紧边上拉应力大, 弹性变形量大
2. V 带在松边上拉应力较小, 弹性变形量小
3. V 带进入主动轮中, 拉应力逐渐减小, 上面的微元在前进一段距离后, 向后收缩, 因此主动轮上 $v_\text{带}<v_1$
4. V 带进入从动轮中, 拉应力逐渐增大, 上面的微元在前进一段距离后, 向前伸长, 因此从动轮上 $v_\text{带}>v_2$
5. 由此导致 $v_1\neq v_2$, 从而弹性滑动使带轮的传动比减小 $i<\frac{d_{d2}}{d_{d1}}$
6. 定义弹性滑动率 $\varepsilon=(v_1-v_2)/v_1$ 体现弹性滑动的程度, 与 V 带的材料, 载荷有关
7. 弹性滑动由 V 带本身性质导致, 无法避免, 不属于失效

失效形式

打滑

当圆周力 $F$ (即摩擦力) 超过摩擦极限 $F_{f lim}$ 将发生打滑, 可得到不打滑条件 $$F=\frac{P}{v}\le F_{f lim}$$

疲劳破坏

V 带在变应力作用下发生疲劳破坏, 根据最大应力可得疲劳强度条件

$$\sigma_{max}=\sigma_1+\sigma_{b1}+\sigma_{c}\le[\sigma]$$

单根 V 带的传动功率

根据两个约束条件, 可以得到在保证 V 带不失效的前提下, 单根 V 带能传动的功率为

$$P_0=([\sigma]-\sigma_{b1}-\sigma_c)(1-\frac{1}{e^{f\alpha}})Av$$

计算单根 V 带的许用功率

直接计算得到的传动功率并不准确, 还需要进行修正才能得到其许用功率

$$[P_0]=(P_0+\Delta P_0)K_\alpha K_L$$

参数名	字母代号	定义
单根 V 带基本额定功率	$P_0$	在特定实验条件下测得的额定功率
基本额定功率增量	$\Delta P_0$	当 $i\neq 1$ 时, 额定功率存在一定增量
包角系数	$K_\alpha$	随包角增大而减小的修正系数
带长系数	$K_L$	随带长增大的修正系数

影响因素分析

$F_{f lim}$ 的影响因素分析

$$F_{f lim}=2F_0(1-\frac{2}{e^{f\alpha}+1})$$

影响因素	影响效果	备注
初拉力 $F_0$	$F_0\uparrow\to F_{f lim}\uparrow$	增大 $F_0$ 可防止打滑, 但也将增大 V 带拉应力, 减小寿命
小带轮包角 $\alpha_1$	$\alpha_1\uparrow\to F_{f lim}\uparrow$	为了防止打滑, 要求 $\alpha_1\ge 120^\circ$, 增大传动比 $i$ 与减小中心距 $\alpha$ 均会导致 $\alpha_1$ 减小
摩擦系数 $f$	$f\uparrow\to F_{f lim}\uparrow$	需要选择合适的材料

设计参数

详细设计过程见 机械设计手册 第三卷 14-3

已知参数

参数名	字母代号	备注
名义传递功率	$P$
主动轮转速	$n_1$
传动比	$i$	通常 $i<d_{d2}/d_{d2}$
工况系数	$K_A$	可得到计算功率 $P_c=K_A P$

设计过程

参数名	字母代号	类型	备注
V 带型号	无	标准值	通过 $n_1$ 与 $P_c$ 查询手册得到
主动带轮基准直径	$d_{d1}$	系列标准值	为了防止弯曲应力过大, 对于各型号带轮, 存在 $d_{d lim}$
从动带轮基准直径	$d_{d2}$	计算值	通过计算值查找相近的标准值
带速	$v$	验算值 $v\in(5,25)$	$v$ 过大将使离心拉应力过大, 过小则要求更高的有效拉应力 $F$, 使带数增多
初选中心距	$a_0$	选用计算值	中心距过大, 传动尺寸大, 但可以增加疲劳寿命, 增大包角; 此中心距是为了确定 $L_d$
初选带长	$L_{d0}$	计算值
基准长度	$L_{d}$	标准值	根据计算的到的带长, 从标准中选择相近值
实际中心距	$a$	计算值	需要取整数
小带轮包角	$\alpha_1$	验算值 $\alpha_1\ge 120^\circ$	通常 $\alpha_1<\alpha_2$, 因此仅验算 $\alpha_1$
带根数	$z$	验算值 $z\le 10$	当带数过多时, 将导致各根带受力不均, 需要改用带型或增大基准直径
初拉力	$F_0$	计算值	初拉力过小容易出现打滑, 过大将降低轴与 V 带的寿命
轴压力	$F_Q$	计算值	用于轴的设计

常用设计

传动特点

1. V 带轮主要用于高速级, 即电机输出与减速机输入之间的传动
2. V 带轮存在弹性, 可以吸振, 缓冲, 减小噪声使传动平稳
3. V 带存在打滑, 可以作为过载保护
4. V 带需要张紧, 对轴施加了额外的轴向力
5. 由于弹性滑动, 带传动不存在稳定的传动比

设计注意

1. 根据 V 带的传动特点, 规定小带轮为主动轮, 大带轮为从动轮
2. 由于重力作用, V 带会在重力的作用下下垂, 且松边下垂量大于紧边, 为了增大 V 带与带轮的接触 (即包角), 防止打滑, 紧边必须在下, 松边在上

链传动设计

设计分析

几何分析

链节几何尺寸

参数名	字母代号	定义
节距	$p$	单个链节上两个轴之间的距离, 节距决定了链节的大小, 因此大节距下, 链传动的承载能力更强
链节数	$L_p$	链条上链节的个数, 通常为偶数, 使链能够首尾连接
链排数	$n$

链轮几何尺寸

根据链条的特点, 链节在链轮上构成一个正多边形, 其中节距为多边形的边长, 链节的销钉为多边形的顶点

参数名	字母代号	定义
齿数	$z$	链轮上的齿数
链节中心角	$\varphi$	定义多边形的边长对应中心的角度为链节中心角, 即 $\varphi=360^\circ/z$
主动链轮转角	$\beta\in[-\varphi_1/2,\varphi_1/2]$	随链轮运动变化
从动链轮转角	$\gamma\in[-\varphi_2/2,\varphi_2/2]$	随链轮运动变化
节圆半径	$R$	认为多边形顶点与中心的连线为链轮的节圆, 满足 $d_i/2=R_i=\frac{p}{2z\sin(\varphi_i/2)}$

基本运动分析

• 根据链轮的几何特点, 可得链轮上的链条以多边形分布, 因此链轮转动一圈, 相当于链条在此多边形上移动, 因此链条平均速度 ($n$ 为链轮转速) $v=z_in_ip$
• 认为链传动的平均传动比满足 (与节圆直径无关) $i\approx z_2/z_1$

主动轮运动分析

1. 对于主动轮, 链节上的销钉在轮齿的带动下同步运动, 因此为匀速运动, 满足 $v_1=R_1\omega_1$

2. 假设链条有一边始终水平, 此时可将链条速度分解水平分量与垂直分量, 其中水平分量即链条速度, 满足 $v=v_1\cos\beta$

3. 而竖直分量则反映了链节在链轮上跳动, 满足 $v=v_1\sin\beta$

4. 可得链条的速度周期性变化, 并且在链轮上周期性跳动, 称为多边形效应

从动轮运动分析

• 根据链节速度也可以计算出从动轮上销钉的转速, 此时该速度周期性变化

$$R_2\omega_2=v_2=\frac{v_1\cos\beta}{\cos\gamma}$$

• 由此可得链传动的瞬时传动比不恒定

$$i_t\approx\frac{\omega_1}{\omega_2}=\frac{R_2\cos\gamma}{R_1\cos\beta}$$

• 仅当 $z_1=z_2,\,a=np$ 是, 瞬时传动比恒定, 但仍存在跳动

载荷分析

• 由于链速周期性变化, 因此加速度不为零将产生惯性力
• 加速度同样为周期性变化, 满足 $a=\frac{dv}{dt}=-R_1\omega_1^2\sin\beta$
• 因此当 $\beta$ 为最大值时, 加速度达到最大值

$$a_{max}=\pm\frac{\omega_1^2p}{2}$$

影响因素分析

传动的均匀性

影响因素	影响效果	备注
齿数 $z$	增大齿数, 可以减小中心角 $\varphi$, 使速度变化范围减小, 从而减小运动的不均匀性
节距 $p$	增大节距, 将增大链轮的尺寸, 相同转速下, 链条速度更高, 导致运动的不均匀性与动载荷大小增大

1. 在高速重载时, 大节距会导致动载荷冲击大, 因此要选用小节距多排链, 通过增加链排数达到承载能力要求
2. 在低速重载时, 动载荷冲击小, 为了节约成本, 要选用大节距少排链

设计参数

详细设计过程见 机械设计手册 第三卷 14-98

已知参数

参数名	字母代号	备注
名义传递功率	$P$
主动轮转速	$n_1$
传动比	$i$	通常 $i<d_{d2}/d_{d2}$
工况系数	$K_A$	可得到计算功率 $P_c=K_A P$

设计过程

参数名	字母代号	类型	备注
齿数	$z$	选用值 奇数	由于链节数为偶数, 为了使每个齿均匀磨损, 因此使用奇数齿数, 需要根据传动比选用
额定功率	$P_0$	计算值	以 $P_0>P_C$ 为约束条件, 选择有关参数时, 将同时确定排数
链排数	$n$	选用值
型号/节距	$p$	选用标准值	不同型号的节距不同, 需要根据 $P_0$ 与 $n_1$ 选择
初定中心距	$a$	选用计算值
带长	$L$	计算值	用于确定链节数
链节数	$L_p$	计算值	通过 $L/p$ 得到, 通常需要取整, 并且使用偶数
实际中心距	$a$	计算值	通过 $L_p$ 计算得到的中心距
安装中心距	$a'$	计算值	为了保证链条垂直, 且链条不需要预紧, 因此安装中心距通常小于计算得到的中心距

常用设计

传动特点

1. 链传动中, 由于存在多边形效应, 传动不平稳, 瞬时传动比变化, 振动与噪声大
2. 由于存在动载荷, 仅适用于低速传动

常用设计

1. 链传动中也存在紧边与松边, 为了易于脱开链节, 要求松边在下, 紧边在上, 防止链条与链节过多接触
2. 通常齿数设计为奇数, 链节数设计为偶数