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流体静力学

大约 10 分钟

流体静力学

当流体之间没有相对运动时, 认为流体静止, 此时可以将流体视为刚体分析, 且流体中仅存在压力, 而不体现黏性

认为相对非惯性系静止的流体依然属于静止流体, 但根据达朗贝尔原理可得, 流体中的点受到惯性力

本节中均以静止的不可压缩流体为研究对象

流体平衡微分方程

取如图所示的微元流体, 由于流体静止, 因此流体上的受力平衡, 且流体上仅有压力与质量力, 沿 xx 方向分析时

微元体压力满足 (正负号分别对应面 22 与面 11, 注意压力还要乘上面积)

Fpx=p(x±dx/2,y,z)=(p±∂p∂xdx2)dydz F_{px}=p(x\pm\mathrm{d} x/2,y,z)=(p\pm\frac{\partial p}{\partial x}\frac{\mathrm{d}x}{2})\mathrm{d}y\mathrm{d}z

微元体上还受到质量力 (fxf_x 为沿 xx 方向上的单位质量力)

Fmx=fxρdxdydz=fxρdV F_{mx}=f_x\rho\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z=f_x\rho\mathrm{d}V

因此有 xx 方向的平衡方程

Fmx+Fpx1−Fpx2=0 fxρdV−∂p∂xdV=0fx=1ρ∂p∂x \begin{split}F_{mx}+F_{px1}-F_{px2}&=0\\\ f_x\rho\mathrm{d}V-\frac{\partial p}{\partial x}\mathrm{d}V&=0\\ f_x&=\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial x} \end{split}

对 y,zy,z 轴同理, 因此推广到三维有

dp=∂p∂xdx+∂p∂ydy+∂p∂zdz=ρ(fxdx+fydy+fzdz)(2.1) \mathrm{d}p=\frac{\partial p}{\partial x}\mathrm{d}x+\frac{\partial p}{\partial y}\mathrm{d}y+\frac{\partial p}{\partial z}\mathrm{d}z=\rho(f_x\mathrm{d}x+f_y\mathrm{d}y+f_z\mathrm{d}z)\tag{2.1}

当已知单位质量力 f⃗\vec{f} 的分布后, 对其积分即可得到静止流体的压强 pp

流体平衡微分方程的积分形式

根据梯度与全微分的关系此时的压强在相邻 dl\mathrm{d}l 的两点上满足

dp=grand(p)⋅dl⃗=ρf⃗⋅dl⃗ \mathrm{d}p=\mathbf{grand}(p)\cdot\mathrm{d}\vec{l}=\rho\vec{f}\cdot\mathrm{d}\vec{l}

因此对于流场中任意以 r1⃗\vec{r_1} 为起点, r2⃗\vec{r_2} 为终点的曲线 ll 有积分

∫lρf⃗⋅dl⃗=∫r1⃗r2⃗grand(p)⋅dl⃗=p(r2⃗)−p(r1⃗) \int\limits_l\rho\vec{f}\cdot\mathrm{d}\vec{l}=\int_{\vec{r_1}}^{\vec{r_2}}\mathbf{grand}(p)\cdot\mathrm{d}\vec{l}=p(\vec{r_2})-p(\vec{r_1})

此积分与路径无关, 仅需知道两个点的位置即可得到其压强差

静止流体中的压强分布

重力作用下的压强分布

在重力作用下有 f⃗=(0,0,−g)\vec{f}=(0,0,-g), 根据式 (2.1)(2.1) 积分后得到重力作用下的压强分布满足

p=−ρgz+C p=-\rho gz+C

其中积分常数 CC 即 p∣z=0p\big|_{z=0} 的压强, 通常将坐标系建立在基准气压 p0p_0 上, 此时 C=p0C=p_0

非惯性系下的压强分布

假设静止液体在具有加速度 a⃗\vec{a} 的非惯性系中, 根据达朗贝尔原理, 流体的质量力为 f⃗=g⃗−a⃗\vec{f}=\vec{g}-\vec{a}

假设 a⃗\vec{a} 沿 xx 方向, 此时有 f⃗=(−a,0,−g)\vec{f}=(-a,0,-g) (惯性力方向 fi=−af_i=-a), 根据式 (2.1)(2.1) 积分后得到重力作用下的压强分布满足

p=−ρax−ρgz+C p=-\rho ax -\rho gz+C

其中积分常数 CC 即 p∣x,z=0p\big|_{x,z=0} 的压强, 因此求解压强分布时需要先确定原点位置

等角速度旋转液体的压强分布

当容器与液体绕 zz 轴以角速度 ω\omega 匀速旋转, 当稳定时液体相对于容器静止, 液体之间的相对距离不变, 因此也可视为静止流体

由于液体绕轴旋转, 因此每个液滴上有向心加速度 an=ω2ra_n=\omega^2 r 并指向圆心

根据达朗贝尔原理, 假设液滴受力平衡, 其上有与向心加速度相反的虚拟力, 对于流体则体现为质量力

除向心加速度产生的虚拟里外, 流体上还有重力, 因此流体中的单位质量力满足

f⃗=g⃗−an⃗=(ω2rsin⁡θ,ω2rcos⁡θ,−g)=(ω2x,ω2y,−g) \begin{split}\vec{f}&=\vec{g}-\vec{a_n}=(\omega^2 r\sin\theta,\omega^2 r\cos\theta,-g)\\ &=(\omega^2 x,\omega^2 y,-g)\end{split}

根据式 (2.1)(2.1) 积分后得到重力作用下的压强分布满足

p=ρ(ω2x22+ω2y22−gz)+C=ρω2r22−ρgz+C \begin{split}p&=\rho(\omega^2\frac{x^2}{2}+\omega^2\frac{y^2}{2}-gz)+C\\ &=\rho\omega^2\frac{r^2}{2}-\rho gz+C\end{split}

其中积分常数 CC 为原点压强 p0p_0

由压强分布函数可得, 压强相等的点构成一个旋转抛物面 (等压面), 令 p=p0p=p_0 可得对于原点所在的等压面有表达式

z=ω2gr22 z=\frac{\omega^2}{g}\frac{r^2}{2}

有关解题技巧

对于不可压缩流体, 当流体总量不变时, 流体的总体积不会变化

对于高为 HH 底面半径为 RR 的封闭容器中的旋转液体, 旋转前空气为圆柱体 AA, 旋转后为原点所在的旋转抛物等压面与顶面围成的曲面锥体 BB, 因此有关系

VA=πR2(H−h0)=VB=∫0H−z0πr2dz V_{A}=\pi R^2 (H-h_0)=V_{B}=\int_{0}^{H-z_0}\pi r^2\mathrm{d}z

注意在封闭容器中, z=Hz=H 时, 原点等压面在 HH 处不一定有 rH=d/2r_H=d/2

静止流体的压强计算

相对压强与绝对压强

定义相对压强 pgp_g (测量 gauge), 即测压器读数得到的压强, 因此也称为测量压强

当 pg<0p_g<0 时, 压力值需要使用真空计测量, 因此有真空度定义 pv=−pgp_v=-p_g (真空 vacuum)

定义大气压强 pap_a (大气 atmosphere); 当压力表的参考对象不是大气时也使用 pbp_b (背景 background)

因此物体受到的实际压强 pp 为

p=pa+pg p=p_a+p_g

压强分布中的等压面

将流体中压强相等的面定义为等压面, 等压面一般为平面, 但也可能是曲面

等压面具有以下性质

  1. 等压面上任一点所受的质量力方向与等压面垂直
  2. 不同密度的液体之间, 液体与空气的分界面为等压面
  3. 认为空气的压强为定值, 此时液体与空气的分界面上的压强大小等于空气压强
  4. 仅受重力时, 在相同介质中的任意水平面均为等压面

eg.

截面 A,BA,B 在同一介质的统一水平面上, 因此为等压面
但截面 CC 在另一介质中, 根据压强计算显然 PC≠PAP_C\neq P_A 因此截面 CC 与 A,BA,B 不在同一等压面上

单一液体压强分布求解

对于单一液体, ρ\rho 在液体中不变, 因此可直接对基准建立坐标系, 取 C=p0C=p_0, 使用上文得到的结论

其中基准的压强不一定要是已知量, 因为可能在方程联立中被消去

混合液体压强分布求解

根据式 (2.1)(2.1) 可得, pp 的积分与路径无关, 因此对于从 1→21\to 2 的任意曲线 l12l_{12} 有积分

p2−p1=∫12dp=∫l12ρ(fxdx+fydy+fzdz) p_2-p_1=\int_{1}^{2}dp=\int\limits_{l_{12}}\rho(f_x\mathrm{d}x+f_y\mathrm{d}y+f_z\mathrm{d}z)

当流体中的流体种类不同时, ρ\rho 不是常数无法直接得到积分结果, 此时需要以液体分界面对流体划分

假设路径 l12l_{12} 从 p1p_1 所在等压面经过 n−1n-1 个等压面后达到 p2p_2 所在等压面, 因此有 ρi\rho_i 为等压面中流体密度, hi=−(zi−zi−1)h_i=-(z_{i}-z_{i-1}) 为两个等压面之间的相对距离, 以从上到下为正 (与 gg 同向), 此时有

pb−pa=∑i=1nρighi=∑i=1n−ρig(zi−zi−1) p_b-p_a=\sum_{i=1}^n \rho_i gh_i=\sum_{i=1}^n -\rho_i g(z_{i}-z_{i-1})

将上式中的 p0=pap_0=p_a 作为基准, 取两个等压面 pb=p1,p2p_b=p_1,p_2 , 可将公式改写为如下常用形式

p1+∑i=1nρig(zi−zi−1)=p2+∑j=1mρjg(zj−zj−1)=C(2.2) p_1+\sum_{i=1}^n\rho_i g(z_{i}-z_{i-1})=p_2+\sum_{j=1}^m\rho_j g(z_{j}-z_{j-1})=C\tag{2.2}

  • p1,p2p_1,p_2 可以是相对压强或绝对压强, 但必须使用相同的标准
  • p0p_0 可以任意选择, 通常以最低的已知点或液体表面作为基准
  • ziz_i 为基准到待求面所经过的各个等压面的距离, 以竖直向上为正 (zz 轴正方向)

例题

密封容器中, 上层为油 ρo=800kg/m2\rho_o=800kg/m^2, 下层为水 ρw=1000kg/m2\rho_w=1000kg/m^2, 各个液面高度为 z1=0.6m,z2=1.4m,z3=1.5mz_1=0.6m,z_2=1.4m,z_3=1.5m, 求 p0−pap_0-p_a

取底面 pp 为等压面
由 pp 到 p0p_0 上共有两个液面, 有 p0+ρwgz1+ρog(z3−z1)=Cp_0+\rho_w gz_1+\rho_o g(z_3-z_1)=C
由 pp 到 pap_a 上共有一个液面, 有 pa+ρwgz2=Cp_a+\rho_w gz_2=C
联立两个方程可计算得到结果

p0−pa=ρwgz2−[ρwgz1+ρog(z3−z1)]=784Pa p_0-p_a=\rho_w gz_2-[\rho_w gz_1+\rho_o g(z_3-z_1)]=784Pa

静止液体在壁面上的总压力

本节均以重力场中的静止流体为讨论对象, 有 f⃗=(0,0,−g)\vec{f}=(0,0,-g)

注意除了流体对壁面的总压力, 壁面与大气接触部分受到的压力也不可忽视

平面壁上的总压力

如图所示, 以水平面为基准建立坐标系, 其中 xx 轴与壁面平行, yy 轴与等压面相交, 与 zz 轴夹角 <90∘<90^\circ

当平板与水平面夹角为 θ\theta 时, yy 轴与 zz 轴之间满足 ysin⁡θ=zy\sin\theta=z, 因此平面壁与流体接触部分的总压力为 (注意图中 zz 轴与 gg 方向相同)

F1=∫ApdA=∫A(ρgysin⁡θ+p0)dA=ρgsin⁡θ∫AydA+p0A \begin{split}F_1&=\int_A p\mathrm{d}A\\ &=\int_A (\rho g y\sin\theta+p_0)\mathrm{d}A\\ &=\rho g\sin\theta\int_A y\mathrm{d}A+p_0A\\ \end{split}

其中, 对于形心 yCy_C, 积分满足 yCA=∫AydAy_CA=\int_A y\mathrm{d}A, 带入后化简为

F1=ρgsin⁡θyCA+p0A F_1=\rho g\sin\theta y_CA+p_0A

因此平面壁的总压强等于壁面形心处压强与壁面面积的乘积

当平面壁另一侧暴露在大气中时, 将受到来自大气的压力 p0Ap_0A, 此时平面壁的合力为 F=ρgsin⁡θyCAF=\rho g\sin\theta y_CA, 可忽略公式中的大气压项用于计算壁面所受的合力

显然平面壁上的压力相对形心 yCy_C 的力矩并不为 00, 因此壁面的形心作为总压力的作用点时还存在未抵消的力矩.
对于总压力的作用点求法见书 p26 或例题

曲面壁上的总压力

对于如图所示的单位宽度二维曲面壁面的总压力, 壁面上的微元受到压力

dF⃗=pdA⃗=(ρgh+p0)dA⃗ \mathrm{d}\vec{F}=p\mathrm{d}\vec{A}=(\rho g h+p_0)\mathrm{d}\vec{A}

其中 hh 为微元深度, 满足 h=zh=z (zz 轴与 gg 同向)
假设曲面在 zxzx 截面上的截线为曲线 l:z=l(x)l:z=l(x), 则 xx 与 zz 的关系可根据曲线方程确定

由于曲面为宽度 ww 的曲面, 因此单位宽度上的面积微元 dA⃗=w⋅dl⃗\mathrm{d}\vec{A}=w\cdot\mathrm{d}\vec{l}
面积微元为 dA⃗=(dAx,dAz)=w⋅(dz,dx)\mathrm{d}\vec{A}=(\mathrm{d}A_x,\mathrm{d}A_z)=w\cdot(\mathrm{d}z,\mathrm{d}x) (注意面积中的下标表示投影方向)
因此可分解积分为

Fx=∫Ax(ρgh+p0)dAx=p0wlz+ρgw∫lzzdz F_x=\int_{A_x}(\rho g h+p_0)\mathrm{d}A_x=p_0wl_z+\rho g w\int_{l_z}z\mathrm{d}z

Fz=∫Az(ρgh+p0)dAz=p0wlx+ρgw∫lxl(x)dx F_z=\int_{A_z}(\rho g h+p_0)\mathrm{d}A_z=p_0wl_x+\rho g w\int_{l_x}l(x)\mathrm{d}x

如图所示, 积分 ∫lxl(x)dx\int_{l_x}l(x)\mathrm{d}x 即 ll 与液面围成为曲面四边形的面积 SabcdS_{abcd}
积分 w∫lzzdz=wlz⋅lz2w\int_{l_z}z\mathrm{d}z=wl_z\cdot\frac{l_z}{2}, 其中 wlzwl_z 即为曲面沿 xx 轴的投影 AxA_x, lz2\frac{l_z}{2} 为投影 AxA_x 的形心 hxCh_{xC}

由此推广到任意曲面有

Fx=p0Ax+ρghxCAx F_x=p_0A_x+\rho g h_{xC}A_x

Fz=p0Az+ρgV F_z=p_0A_z+\rho g V

其中

  • p0Ap_0A 项为大气压通过流体传递的压强
    • 当壁面一侧与空气接触 (或物体轮廓均与空气间接或直接接触), 计算壁面总受力时可以忽略
    • 忽略右侧项可得空气对壁面的总压强可分解为对壁面沿 z,xz,x 方向投影的压强
  • VV 为曲面与液面围成的体积, 称为控制体, 忽略 p0p_0 项有取 zz 轴以向上为正
    • 当壁面上方与液体接触时, FzF_z 的方向为垂直向下, 取 VV 为负
    • 当壁面下方与液体接触时, FzF_z 的方向为垂直向上, 取 VV 为正
    • 对于复杂曲面, 可分解为多段, 并对控制体叠加 V=∑ViV=\sum V_i
  • FxF_x 不能忽略, 总是从液体指向壁面