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解题注意

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解题注意

易错总结

流体静力学

  • 由下到上, 首先与曲面接触的液面即曲面所在液面, 物体两侧液面不一定相同
    有关例题
  • 当壁面下方与液体接触时, FzF_z 的方向为垂直向上, 取 VV 为正
  • 对于复杂曲面, 其控制体与截面的面积无关, 需要具体分析求解

理想流体动力学

  • 伯努利方程中, 注意先选择作为方程对象的液面 / 截面再选择基准 (较低液面或最低处), 在基准上方的液面 hh 为正 (如高处的水池, 虹吸管等)
  • 计算点的流速用流线伯努利方程, 计算面的平均流速时用截面的伯努利方程, 注意有截面能量系数 α≈1\alpha\approx 1 (对于层流取 α=2\alpha=2)
  • 流体的动量方程上的合力包括流体受到的相对压力, 重力与外力
  • 流体的动量矩方程使用前要先选择化简中心

黏性流体动力学

  • 对于串联管路, 流量 QQ 一定相同, 但各管的平均流速 vˉ\bar{v} 不同
    有关例题
  • 沿程损失水头包括了从出发液面到终点液面上所有的损失

可压缩流体一元流动

  • 马赫数中的声速 cc 为该气体在速度 vv 下对应的 TT 所决定的

量纲分析与相似性原理

  • 使用矩阵法求解无量纲参数时, 注意向量 b⃗\vec{b} 要带入待求非循环量系数的负值
    有关例题
  • 使用矩阵法求解无量纲参数时, 矩阵的行按 LTMLTM 顺序对应, 矩阵的列按 abcabc 顺序对应

流体静力学

平面壁上的总压力

一封闭水箱上有窗口 ABAB, 长 AB=l=1.5mAB=l=1.5m, 宽 b=3mb=3m, 窗口与水平面夹角 θ=30∘\theta=30^\circ, 窗口上端到液面垂直距离 h=3mh=3m, 液面上方有气压 p0=1.25×105Pap_0=1.25\times 10^5Pa, 大气压强 pa=1×105Pap_a=1\times 10^5Pa. 求窗口 ABAB 受到的总压力以及其作用点

首先建立如图所示的坐标系
计算来自液体的总压力 F1F_1

  • 平面壁的平均压强相当于壁面形心的压强, 因此有总压力

F1=ρghc⋅A=ρg(h+l2sin⁡θ)⋅bl≈148837.5N F_1=\rho gh_{c}\cdot A=\rho g(h+\frac{l}{2}\sin\theta)\cdot bl\approx 148837.5N

  • 为了计算总压力的作用点, 首先计算壁面相对形心的惯性矩 IxcI_{xc}

Ixc=bl312≈0.84375m4 I_{xc}=\frac{bl^3}{12}\approx 0.84375m^4

  • 根据平行移轴定理可得 (注意采用的是 yy 轴上的坐标)

Ix=Ixc+yc2A=Ixc+(l2+hsin⁡θ)2≈205.875m4 I_{x}=I_{xc}+y_{c}^2A=I_{xc}+(\frac{l}{2}+\frac{h}{\sin\theta})^2\approx 205.875m^4

  • 最终得到 F1F_1 作用点在 yy 轴上的坐标

y1=IxycA≈6.78m y_1=\frac{I_{x}}{y_cA}\approx 6.78m

计算来自气体的总压力 F2F_2

  • 气体产生的压力对各点均相同, 因此有

F2=(p0−pa)A=108000N F_2=(p_0-p_a)A=108000N

  • 同样可得 F2F_2 的作用点即 ABAB 形心
  • 由于 p0>pap_0>p_a, 因此 F2F_2 方向向外

将两个力合成

  • 由于两个力方向相同, 因此合力为

F=F1+F2≈256837.5N F=F_1+F_2\approx 256837.5N

  • 根据合成前后力矩不变, 可得合力的作用点满足

F⋅y=F1⋅y1+F2⋅yc→y≈6.77m F\cdot y=F_1\cdot y_1+F_2\cdot y_c\to y\approx 6.77m

单位宽度曲面壁总压力

一半径为 RR 的圆柱左右有着水位不同的积水, 求圆柱单位长度受到的力

首先计算 FzF_z

  • 左半侧的圆柱面上下均淹没在水中
    • 左下圆柱面的控制体为正, 柱面与液面 11 围成的曲面多边形为 SBEACS_{BEAC}
      因此控制体为 V1=wSBEACV_{1}=w S_{BEAC}
    • 左上圆柱面的控制体为负, 柱面与液面 11 围成的曲面多边形为 SBEAS_{BEA}
      因此控制体为 V2=−wSBEAV_{2}=-w S_{BEA}
  • 右半侧的圆柱面则仅有右下半圆柱面淹没在水中
    该柱面的控制体为正, 与液面 22 围成的曲面多边形为 SCODS_{COD}, 因此控制体为 V3=wSCODV_{3}=w S_{COD}
  • 将三个控制体叠加后可得, 此圆柱在水中的控制体为一个 34\frac{3}{4} 的 圆柱
    因此总控制体为 V=V1+V2+V3=w34SO=34πR2V=V_{1}+V_{2}+V_{3}=w \frac{3}{4}S_{O}=\frac{3}{4}\pi R^2
  • 可得 Fz=ρgV=34ρgπR2F_z=\rho gV=\frac{3}{4}\rho g\pi R^2, 方向向上

然后计算 FxF_x

  • 左半侧的圆柱面投影为矩形 S1=wlACS_1=wl_{AC}, 形心 hc1=Rh_{c1}=R
    可得左半侧受力 Fx1=ρghc1S1=2ρgR2F_{x1}=\rho gh_{c1}S_{1}=2\rho gR^2
  • 右半侧的圆柱面投影为矩形 S1=wlOCS_1=wl_{OC}, 形心 hc2=R2h_{c2}=\frac{R}{2}
    可得左半侧受力 Fx2=ρghc2S2=ρgR22F_{x2}=\rho gh_{c2}S_{2}=\frac{\rho gR^2}{2}
  • 两力合力为 Fx=Fx1−Fx2=32ρgR2F_{x}=F_{x1}-F_{x2}=\frac{3}{2}\rho gR^2, 方向向右

注意:

  1. 由下到上, 首先与曲面接触的液面即曲面所在液面 (两侧液面不一定相同)
  2. 仅有液面下的曲面会受到来自液体的压力
  3. 注意上下控制体的叠加时的符号

黏性流体动力学

串联变截面管道流动

如图, 串联管道由两段组成, 管道尺寸为 l1=550m,d1=300mm,l2=450m,d2=250mml_1=550m,d_1=300mm,l_2=450m,d_2=250mm, 管道粗糙度均为 Δ=0.6mm\Delta=0.6mm, 水面高度 h=10mh=10m, 流动处于湍流粗糙管状态, 不及局部损失, 求流量 QQ

对总体分析

  • 串联管道各段流速 vˉ\bar{v} 不同, 流量 QQ 守恒, 有

Q=π4d12vˉ1=π4d22vˉ2 Q=\frac{\pi}{4}d_1^2\bar{v}_1=\frac{\pi}{4}d_2^2\bar{v}_2

  • 根据液面与管道出口, 列写伯努利方程 (两处均与大气相通)

H=vˉ222g+hf1+hf2 H=\frac{\bar{v}_2^2}{2g}+h_{f1}+h_{f2}

对于第一段管道

  • 由于处于湍流粗糙管状态, 因此沿程损失系数为

λ1=1[1.74+2lg⁡(d12Δ)]2≈0.0234 \lambda_1=\frac{1}{[1.74+2\lg(\frac{d_1}{2\Delta})]^2}\approx 0.0234

  • 沿程损失水头为

hf1=λ1l1d1vˉ122g≈438.06Q2 h_{f1}=\lambda_1\frac{l_1}{d_1}\frac{\bar{v}_1^2}{2g}\approx 438.06Q^2

对于第二段管道

  • 由于处于湍流粗糙管状态, 因此沿程损失系数为

λ2=1[1.74+2lg⁡(d22Δ)]2≈0.0246 \lambda_2=\frac{1}{[1.74+2\lg(\frac{d_2}{2\Delta})]^2}\approx 0.0246

  • 沿程损失水头为

hf2=λ2l2d2vˉ222g≈937.59Q2 h_{f2}=\lambda_2\frac{l_2}{d_2}\frac{\bar{v}_2^2}{2g}\approx 937.59Q^2

带入伯努利方程解得

Q≈0.0846m3/s Q\approx 0.0846m^3/s

量纲分析与相似性原理

无量纲参数选取

当球体在流体中定向运动中, 其阻力 FF 与流体密度 ρ\rho, 动力粘度 μ\mu, 球的半径 RR 以及流体速度 vv 存在关系

F=g(ρ,μ,R,v) F=g(\rho,\mu,R,v)

现选择循环量 ρ,μ,R\rho,\mu,R 将此关系无量纲化
这些循环量分别有量纲

ρ=[ML−3]μ=[ML−1T−1]R=[L] \rho=[ML^{-3}]\quad\mu=[ML^{-1}T^{-1}]\quad R=[L]

由此可以组成系数矩阵

[−3−110−10110] \begin{bmatrix} -3&-1&1\\ 0&-1&0\\ 1&1&0\\ \end{bmatrix}

注意到阻力 FF 作为公式结果, 也是物理参数的一部分, 因此共有两个剩余参数 F,vF,v

首先分析参数 v=[LT−1]v=[LT^{-1}], 有 b⃗={−1,1,0}\vec{b}=\{-1,1,0\}
假设其无量纲综合参数为 Π1=v⋅ρaμbRc=[L−3a−b+c+1T−b−1Ma+b]\Pi_1=v\cdot \rho^a\mu^b R^c=[L^{-3a-b+c+1}T^{-b-1}M^{a+b}]
令其量纲为 00 即可得到线性方程组

[−3−11∣−10−10∣1110∣0] \begin{bmatrix} -3&-1&1&\big|&-1\\ 0&-1&0&\big|&1\\ 1&1&0&\big|&0\\ \end{bmatrix}

解得 a=1,b=−1,c=1a=1,b=-1,c=1, 因此有

Π1=v⋅ρμ−1R=vρRμ \Pi_1=v\cdot \rho\mu^{-1} R=\frac{v\rho R}{\mu}

其次分析参数 F=[MLT−2]F=[MLT^{-2}], 有 b⃗={−1,2,−1}\vec{b}=\{-1,2,-1\}
假设其无量纲综合参数为 Π2=F⋅ρaμbRc=[L−3a−b+c+1T−b−2Ma+b+1]\Pi_2=F\cdot \rho^a\mu^b R^c=[L^{-3a-b+c+1}T^{-b-2}M^{a+b+1}]
令其量纲为 00 即可得到线性方程组

[−3−11∣−1110∣20−10∣−1] \begin{bmatrix} -3&-1&1&\big|&-1\\ 1&1&0&\big|&2\\ 0&-1&0&\big|&-1\\ \end{bmatrix}

解得 a=1,b=−2,c=0a=1,b=-2,c=0, 因此有

Π2=F⋅ρμ−2R0=Fρμ2 \Pi_2=F\cdot \rho\mu^{-2} R^0=\frac{F\rho}{\mu^2}

最终可得到公式的无量纲形式为

F=μ2ρf(vρRμ) F=\frac{\mu^2}{\rho}f(\frac{v\rho R}{\mu})

准则数应用

在风洞中做鱼雷阻力试验, 模型与原型的缩尺比例为 1:31:3. 已知原型流场参数 vp=6km/h,ρp=1010kg/m3,νp=1.145×10−6m2/sv_p=6km/h,\rho_p=1010kg/m^3,\nu_p=1.145\times 10^{-6}m^2/s; 模型流场参数 ρm=1.29kg/m3,νm=1.45×10−5m2/s\rho_m=1.29kg/m^3,\nu_m=1.45\times 10^{-5}m^2/s. 求
(1) 风洞试验的模拟速度 vmv_m
(2) 当风洞试验中测出模型阻力 FmF_m, 求原型鱼雷受到的阻力 FpF_p

(1)
由题意得模型与实际满足几何相似性, 有 CL=13C_L=\frac{1}{3}
研究物体在流场中受到的阻力, 因此选择雷诺数 ReRe 作为模型与实际需要满足的准则数, 因此有

Rep=Remvplpνp=vmlmνmvm=vplpνmlmνp=vpCLνmνp≈227.95km/h \begin{split}Re_p&=Re_m\\ \frac{v_pl_p}{\nu_p}&=\frac{v_ml_m}{\nu_m}\\ v_m&=v_p\frac{l_p\nu_m}{l_m\nu_p }=\frac{v_p}{C_L}\frac{\nu_m}{\nu_p}\approx 227.95km/h \end{split}

(2)
为了计算阻力, 引入欧拉准则则有

Eup=EumFp/lp2ρpvp2=Fm/lm2ρmvm2FpFm=ρpρmvp2vm2lp2lm2=ρpρmvp2vm21CL2≈4.88 \begin{split}Eu_p&=Eu_m\\ \frac{F_{p}/l_p^2}{\rho_p v_p^2}&=\frac{F_{m}/l_m^2}{\rho_m v_m^2}\\ \frac{F_{p}}{F_{m}}&=\frac{\rho_p}{\rho_m}\frac{v_p^2}{v_m^2}\frac{l_p^2}{l_m^2}=\frac{\rho_p}{\rho_m}\frac{v_p^2}{v_m^2}\frac{1}{C_L^2}\approx 4.88 \end{split}