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多元微积分

大约 6 分钟

多元微积分

注意

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约定

  • 有多元标量函数 u(x,y,z),v(x,y,z)u(x,y,z),v(x,y,z)
  • 有多元矢量函数 A⃗(x,y,z)=(P,Q,R),B⃗\vec{A}(x,y,z)=(P,Q,R),\vec{B}, 其中 P,Q,RP,Q,R 均为多元标量函数
  • 有一般标量常数 c,dc,d

多元函数微分

多元函数的微分特征

梯度

grad(u)=(∂u∂x,∂u∂y,∂u∂z) \mathbf{grad}(u)=(\frac{\partial u}{\partial x},\frac{\partial u}{\partial y},\frac{\partial u}{\partial z})

多元函数 uu 在点 (x,y,z)(x,y,z) 沿梯度方向上有着最快的变化速度, 并且有着最大的方向导数, 即梯度的模

对于多元函数的全微分即可使用梯度表示成如下形式

df=grad(f)⋅dr⃗ \mathrm{d}f=\mathbf{grad}(f)\cdot\mathrm{d}\vec{r}

散度

div⁡(A⃗)=∂P∂x+∂Q∂y+∂R∂z \operatorname{div}(\vec{A})=\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}

对矢量场 A⃗\vec{A} 中的闭合曲面 SS 围成的空间 VV, 定义通量

Φ=∮SA⃗⋅ds⃗ \Phi=\oint\limits_S \vec{A}\cdot \mathrm{d}\vec{s}

对于 SS 的中心点 (x,y,z)(x,y,z), 定义矢量场的散度

div⁡(A⃗)=lim⁡V→0ΦV \operatorname{div}(\vec{A})=\lim_{V\to 0}\frac{\Phi}{V}

散度可以体现空间中一点 (x,y,z)(x,y,z) 为中心的微元体 dV\mathrm{dV} 是否散发或者吸收通量, 当一点的散度为 00, 表明进入与离开该点的通量相同

参考文献
https://wuli.wiki/online/Divgnc.htmlopen in new window

旋度

rot(A⃗)=∣i⃗j⃗k⃗∂∂x∂∂y∂∂zPQR∣ \mathbf{rot}(\vec{A})= \begin{vmatrix} \vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\ \frac{\partial}{\partial x}&\frac{\partial}{\partial y}&\frac{\partial}{\partial z}\\ P&Q&R \end{vmatrix}

对于平面中质点的运动可以分解为绕轴旋转与平动

v⃗=v0⃗+ω⃗×r⃗=(v0y+ωx)j⃗+(v0x−ωy)i⃗ \vec{v}=\vec{v_0}+\vec{\omega}\times\vec{r}=(v_{0y}+\omega x)\vec{j}+(v_{0x}-\omega y)\vec{i}

为了求出该点的角速度, 可以令速度分量 vx,vyv_x,v_y 分别对 y,xy,x 求偏导

∂vx∂y=−ω∂vy∂x=ω \frac{\partial v_x}{\partial y}=-\omega\quad \frac{\partial v_y}{\partial x}=\omega

因此该点的角速度即为

2ω=∂vy∂x−∂vx∂y 2\omega=\frac{\partial v_y}{\partial x}-\frac{\partial v_x}{\partial y}

推广到三维坐标系可得, 对于任意物体的速度场上任一点, 其旋度及其角速度的 22 倍

rot(A⃗)=2ω⃗ \mathbf{rot}(\vec{A})=2\vec{\omega}

参考文献
https://zhuanlan.zhihu.com/p/477261640open in new window
https://blog.sina.com.cn/s/blog_5d323f950101ima8.htmlopen in new window

微分算子

使用微分算子 (哈密顿算子) ∇⃗\vec{\nabla} 用于简化对多元函数的微分

∇⃗=(∂∂x,∂∂y,∂∂z) \vec{\nabla}=(\frac{\partial}{\partial x},\frac{\partial}{\partial y},\frac{\partial}{\partial z})

梯度, 旋度, 散度均可使用微分算子表示

grad(u)=(∂u∂x,∂u∂y,∂u∂z)=∇⃗u \mathbf{grad}(u)=(\frac{\partial u}{\partial x},\frac{\partial u}{\partial y},\frac{\partial u}{\partial z})=\vec{\nabla} u

div⁡(A⃗)=∂P∂x+∂Q∂y+∂R∂z=∇⃗⋅A⃗ \operatorname{div}(\vec{A})=\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}=\vec{\nabla}\cdot\vec{A}

rot(A⃗)=∣i⃗j⃗k⃗∂∂x∂∂y∂∂zPQR∣=∇⃗×A⃗ \mathbf{rot}(\vec{A})= \begin{vmatrix} \vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\ \frac{\partial}{\partial x}&\frac{\partial}{\partial y}&\frac{\partial}{\partial z}\\ P&Q&R \end{vmatrix} =\vec{\nabla}\times\vec{A}

微分算子具线性性

∇⃗(cu+dv)=c∇⃗u+d∇⃗v \vec{\nabla}(cu+dv)=c\vec{\nabla}u+d\vec{\nabla}v

∇⃗⋅(cA⃗+dB⃗)=c∇⃗⋅A⃗+d∇⃗⋅B⃗ \vec{\nabla}\cdot(c\vec{A}+d\vec{B})=c\vec{\nabla}\cdot \vec{A}+d\vec{\nabla}\cdot \vec{B}

∇⃗×(cA⃗+dB⃗)=c∇⃗×A⃗+d∇⃗×B⃗ \vec{\nabla}\times(c\vec{A}+d\vec{B})=c\vec{\nabla}\times \vec{A}+d\vec{\nabla}\times \vec{B}

注意, 微分算子不满足交换律

∇⃗⋅A⃗≠A⃗⋅∇⃗=P∂∂x+Q∂∂y+R∂∂z \vec{\nabla}\cdot\vec{A}\neq\vec{A}\cdot\vec{\nabla}=P\frac{\partial}{\partial x}+Q\frac{\partial}{\partial y}+R\frac{\partial}{\partial z}

∇⃗u≠u∇⃗=(u∂∂x,u∂∂y,u∂∂z) \vec{\nabla}u\neq u\vec{\nabla}=(u\frac{\partial}{\partial x},u\frac{\partial}{\partial y},u\frac{\partial}{\partial z})

(A⃗⋅∇⃗)A⃗=P∂A⃗∂x+Q∂A⃗∂y+R∂A⃗∂z≠(∇⃗⋅A⃗)A⃗=(P∇⃗⋅A⃗,Q∇⃗⋅A⃗,R∇⃗⋅A⃗) (\vec{A}\cdot\vec{\nabla})\vec{A}=P\frac{\partial\vec{A}}{\partial x}+Q\frac{\partial\vec{A}}{\partial y}+R\frac{\partial\vec{A}}{\partial z}\\ \neq\\ (\vec{\nabla}\cdot\vec{A})\vec{A}=(P\vec{\nabla}\cdot\vec{A},Q\vec{\nabla}\cdot\vec{A},R\vec{\nabla}\cdot\vec{A})

常用微元与坐标系变换

多重积分公式

矢量求导法则

参考

矢量与矩阵求导依然满足链式法则, 一般利用链式法则避免直接对矩阵求导
可使用工具 https://www.matrixcalculus.org/open in new window 计算矩阵求导

矢量对标量求导

对于任意矢量或矩阵 X∈Rm×n\bm{X}\in\R^{m\times n} 与标量 yy
有 X\bm{X} 相对 yy 的导数即矩阵中各个元素 xi,jx_{i,j} 相对 yy 求导, 满足

∂X∂y=[∂x1,1∂y∂x1,2∂y…∂x1,n∂y∂x2,1∂y∂x2,2∂y…∂x2,n∂y⋮⋮⋱⋮∂xm,1∂y∂xm,2∂y…∂xm,n∂y] \frac{\partial \bm{X}}{\partial y}=\begin{bmatrix} \frac{\partial x_{1,1}}{\partial y}&\frac{\partial x_{1,2}}{\partial y}&\dots&\frac{\partial x_{1,n}}{\partial y}\\ \frac{\partial x_{2,1}}{\partial y}&\frac{\partial x_{2,2}}{\partial y}&\dots&\frac{\partial x_{2,n}}{\partial y}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ \frac{\partial x_{m,1}}{\partial y}&\frac{\partial x_{m,2}}{\partial y}&\dots&\frac{\partial x_{m,n}}{\partial y} \end{bmatrix}

标量对矢量求导

对于任意矢量或矩阵 X∈Rm×n\bm{X}\in\R^{m\times n} 与标量 yy
有 yy 相对 X\bm{X} 的导数即 yy 相对矩阵中各个元素 xi,jx_{i,j} 求导, 满足

∂y∂X=[∂y∂x1,1∂y∂x1,2…∂y∂x1,n∂y∂x2,1∂y∂x2,2…∂y∂x2,n⋮⋮⋱⋮∂y∂xm,1∂y∂xm,2…∂y∂xm,n] \frac{\partial y}{\partial \bm{X}}=\begin{bmatrix} \frac{\partial y}{\partial x_{1,1}}&\frac{\partial y}{\partial x_{1,2}}&\dots&\frac{\partial y}{\partial x_{1,n}}\\ \frac{\partial y}{\partial x_{2,1}}&\frac{\partial y}{\partial x_{2,2}}&\dots&\frac{\partial y}{\partial x_{2,n}}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ \frac{\partial y}{\partial x_{m,1}}&\frac{\partial y}{\partial x_{m,2}}&\dots&\frac{\partial y}{\partial x_{m,n}} \end{bmatrix}

矢量对矢量求导

对于行矢量 x⃗T∈R1×n\vec{x}^T\in\R^{1\times n} 与列矢量 y⃗∈Rm×1\vec{y}\in\R^{m\times 1}
行矢量 x⃗T\vec{x}^T 相对列矢量 y⃗\vec{y} 求导可得到 m×nm\times n 的雅可比矩阵, 满足

∂x⃗T∂y⃗=[∂x⃗T∂y1∂x⃗T∂y2⋮∂x⃗T∂ym]=[∂x1∂y1∂x2∂y1…∂xn∂y1∂x1∂y2∂x2∂y2…∂xn∂y2⋮⋮⋱⋮∂x1∂ym∂x2∂ym…∂xn∂ym] \frac{\partial \vec{x}^T}{\partial \vec{y}}=\begin{bmatrix}\frac{\partial \vec{x}^T}{\partial y_{1}}\\\frac{\partial \vec{x}^T}{\partial y_{2}}\\\vdots\\\frac{\partial \vec{x}^T}{\partial y_{m}}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \frac{\partial x_{1}}{\partial y_{1}}&\frac{\partial x_{2}}{\partial y_{1}}&\dots&\frac{\partial x_{n}}{\partial y_{1}}\\ \frac{\partial x_{1}}{\partial y_{2}}&\frac{\partial x_{2}}{\partial y_{2}}&\dots&\frac{\partial x_{n}}{\partial y_{2}}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ \frac{\partial x_{1}}{\partial y_{m}}&\frac{\partial x_{2}}{\partial y_{m}}&\dots&\frac{\partial x_{n}}{\partial y_{m}} \end{bmatrix}

同样的, 列矢量 y⃗\vec{y} 相对行矢量 x⃗T\vec{x}^T 求导可得到 m×nm\times n 的雅可比矩阵, 满足

∂y⃗∂x⃗T=[∂y⃗∂x1∂y⃗∂x2…∂y⃗∂xn]=[∂y1∂x1∂y1∂x2…∂y1∂xn∂y2∂x1∂y2∂x2…∂y2∂xn⋮⋮⋱⋮∂ym∂x1∂ym∂x2…∂ym∂xn] \frac{\partial \vec{y}}{\partial \vec{x}^T}=\begin{bmatrix}\frac{\partial \vec{y}}{\partial x_{1}}&\frac{\partial \vec{y}}{\partial x_{2}}&\dots&\frac{\partial \vec{y}}{\partial x_{n}}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \frac{\partial y_{1}}{\partial x_{1}}&\frac{\partial y_{1}}{\partial x_{2}}&\dots&\frac{\partial y_{1}}{\partial x_{n}}\\ \frac{\partial y_{2}}{\partial x_{1}}&\frac{\partial y_{2}}{\partial x_{2}}&\dots&\frac{\partial y_{2}}{\partial x_{n}}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ \frac{\partial y_{m}}{\partial x_{1}}&\frac{\partial y_{m}}{\partial x_{2}}&\dots&\frac{\partial y_{m}}{\partial x_{n}} \end{bmatrix}

当矢量 x⃗∈Rn×1,y⃗∈Rm×1\vec{x}\in\R^{n\times 1}, \vec{y}\in\R^{m\times 1} 均为列矢量或均为行矢量时, 求导结果依然为雅可比矩阵, 但需要明确使用的布局方法

  • 采用分母布局时, 导数从行数与列数优先与分母相同
    • 当 x⃗,y⃗\vec{x},\vec{y} 均为列向量有 ∂y⃗∂x⃗=∂y⃗T∂x⃗∈Rn×m\frac{\partial \vec{y}}{\partial \vec{x}}=\frac{\partial \vec{y}^T}{\partial \vec{x}}\in\R^{n\times m}
    • 当 x⃗,y⃗\vec{x},\vec{y} 均为行向量有 ∂y⃗T∂x⃗T=∂y⃗∂x⃗T∈Rm×n\frac{\partial \vec{y}^T}{\partial \vec{x}^T}=\frac{\partial \vec{y}}{\partial \vec{x}^T}\in\R^{m\times n}
  • 采用分子布局时, 则结果相反, 两种布局的结果互为转置

根据矢量对矢量的求导法则可知, 函数 y⃗=ax⃗+b⃗\vec{y}=a\vec{x}+\vec{b} 中, 求导 ∂y⃗∂x⃗\frac{\partial\vec{y}}{\partial\vec{x}} 的结果是对角矩阵 aIa\bm{I} 而不是单个标量

矩阵对矩阵求导

矩阵间以及矩阵对矢量的求导较为复杂, 一般通过链式法则转换为矢量与标量的求导, 具体可见参考资料的介绍