函数

注意

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函数性质速览

三角函数

正弦函数

• 符号 $\sin$
• 定义域 $(-\infty,\infty)$
• 值域 $[-1,1]$
• 周期 $2\pi$
• 导数

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\sin x=\cos x$$

• 图像

余弦函数

• 符号 $\cos$
• 定义域 $(-\infty,\infty)$
• 值域 $[-1,1]$
• 周期 $2\pi$
• 导数

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\cos x=-\sin x$$

• 图像

正切函数

• 符号 $\tan$
• 定义域 $\{x\in\R|x\neq k\pi+\frac{\pi}{2},k\in Z\}$
• 值域 $(-\infty,\infty)$
• 周期 $\pi$
• 表达式

$$\tan x=\frac{\cos x}{\sin x}$$

• 导数

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\tan x=\frac{1}{\cos^2 x}$$

• 图像

对数与指数函数

指数函数

• 符号 $\exp,e^x$
• 定义域 $(-\infty,\infty)$
• 值域 $[0,\infty)$
• 导数

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}e^x=e^x$$

• 图像

对数函数

• 符号 $\ln$
• 定义域 $[0,\infty)$
• 值域 $(-\infty,\infty)$
• 导数

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\ln x=\frac{1}{x}$$

• 图像

反三角函数

反正弦函数

• 符号 $\arcsin$
• 定义域 $[-1,1]$
• 值域 $[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$
• 导数

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\arcsin x=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$

• 图像

反余弦函数

• 符号 $\arccos$
• 定义域 $[-1,1]$
• 值域 $[0,\pi]$
• 导数

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\arccos x=\frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}$$

• 图像

反正切函数

• 符号 $\arctan$
• 定义域 $(-\infty,\infty)$
• 值域 $[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$
• 导数

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\arccos x=\frac{1}{1+x^2}$$

• 图像

四象限反正切函数

• 符号 $\operatorname{Arctan}(x,y)$ 通常用于获取向量 $(x,y)$ 与 $x$ 轴的夹角
• 定义域 $x,y\in\R$
• 值域 $(-\pi,\pi]$
• 表达式

$$\operatorname{Arctan}(x,y)=\begin{cases} \arctan\frac{y}{x}&,x>0\\ \arctan\frac{y}{x}+\pi&,x<0,y\ge 0\\ \arctan\frac{y}{x}-\pi&,x<0,y<0\\ \frac{\pi}{2}&,x=0,y>0\\ -\frac{\pi}{2}&,x=0,y<0\\ 0&,x=0,y=0 \end{cases}$$

推导图像如下

注意

• 一般编程中使用的是 arctan2(y,x), 与上述定义存在差异
• $\operatorname{Arctan}(x \cdot b,y \cdot b) \neq \operatorname{Arctan}(x,y)$, 但可通过判断 $b$ 的符号使用 $\pm 1$ 代替
• $\operatorname{Arctan}(x \cdot b,y \cdot b) = \operatorname{Arctan}(x,y) (b>0)$, 如果 $b>0$ 如 $b=x^2+y^2$ 则可以通分

参考文献 https://wuli.wiki/online/Arctan.html

双曲函数

双曲正弦函数

• 符号 $\sinh,\sh$
• 表达式

$$\sinh x=\frac{e^x-e^{-x}}{2}$$

• 图像

双曲余弦函数

• 符号 $\cosh,\ch$
• 表达式

$$\cosh x=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$$

• 图像

函数公式

三角函数公式

诱导公式

$$\sin(\frac{\pi}{2}-\theta)=\cos\theta$$

$$\cos(\frac{\pi}{2}-\theta)=\sin\theta$$

$$\sin(\pi-\theta)=\sin\theta$$

$$\cos(\pi-\theta)=-\cos\theta$$

$$\sin(2\pi+\theta)=\sin\theta$$

$$\cos(2\pi+\theta)=\cos\theta$$

两角和公式

两角和公式

$$\sin(A+B)=\sin A\cos B+\cos A\sin B$$

$$\cos(A+B)=\cos A\cos B-\sin A\sin B$$

$$\tan(A+B)=\frac{\tan A+\tan B}{1-\tan A\tan B}$$

辅助角公式 (求解方程 $a\sin\theta+b\cos\theta=C$ 中的 $\theta$)

$$a\sin\theta+b\cos\theta=\sqrt{a^2+b^2}\sin(\theta+\arctan\frac{b}{a})$$

和差化积公式

$$\sin A+\sin B=2\sin[\frac{A+B}{2}]\cos[\frac{A-B}{2}]$$

$$\cos A+\cos B=2\cos[\frac{A+B}{2}]\cos[\frac{A-B}{2}]$$

积化和差公式

$$\sin A\cos B=\frac{1}{2}[\sin(A+B)+\sin(A-B)]$$

$$\cos A\cos B=\frac{1}{2}[\cos(A+B)+\cos(A-B)]$$

$$\sin A\sin B=\frac{1}{2}[-\cos(A+B)+\cos(A-B)]$$

万能公式

将仅含三角函数的超越方程转换为多项式方程

$$x=\tan\frac{\theta}{2}$$

$$\cos\theta=\frac{1-x^2}{1+x^2}$$

$$\sin\theta=\frac{2x}{1+x^2}$$

反三角函数公式

反正切函数公式

$$\arctan (-x)=-\arctan x$$

$$\frac{\pi}{2}-\arctan \frac{x}{y}=\arctan\frac{y}{x}$$

$$\arctan A+\arctan B=\arctan(\frac{A+B}{1-AB})$$

指数对数函数公式

指数性质

$$(e^{a})^{b}=e^{ab}$$

$$e^{a}e^{b}=e^{a+b}$$

$$e^{a\ln x}=x^a$$

$$e^{0}=1$$

对数性质

$$a^{\log_a b}=b$$

$$\log_a (AB)=\log_a A+\log_a B$$

$$\log_a (A^k)=k\log_a A$$

$$\log 1=0$$

换底公式

$$\log_a b=\frac{\log_c b}{\log_c a}$$

函数变换