常微分方程的数值解法

主要研究以下常微分方程的数值解法

$$\begin{cases}\frac{dy}{dx}=f(x,y),&\text{微分方程}\\y(x_0)=y_0,&\text{初值条件}\end{cases}$$

欧拉法

欧拉法

微分方程中 $f(x,y)$ 表征了对于微分方程的解 $y=y(x)$ 于点 $P(x,y)$ 上的导数

因此当步长足够小时, 利用导数的性质可以得到

$$\frac{y_{n+1}-y_{n}}{x_{n+1}-x_{n}}\approx f(x_n,y_n)$$

因此可以设定固定的步长 $h$ 从初值点 $P_0(x_0,y_0)$ 递推到目标点 $P_n(x_n,y_n)$, 有

$$y_{t}=y_{t-1}+h\cdot f(x_0+th,y_{t-1})$$

后退欧拉法

于欧拉法类似, 但采用后推型的近似式以实现迭代 (注意右侧系数的区别)

$$\frac{y_{n+1}-y_{n}}{x_{n+1}-x_{n}}\approx f(x_{n+1},y_{n+1})$$

其中 $y_{n+1}$ 无法直接得到, 可先使用 $y_{n}$ 近似

$$y_{t}^{(0)}=y_{t-1}+h\cdot f(x_{t-1},y_{t-1})$$

再迭代得到更精确的值 (注意下标)

$$y_{t}^{(k)}=y_{t-1}+h\cdot f(x_t,y_{t}^{(k-1)})$$

梯形欧拉法

根据数值积分的梯形公式, 结合欧拉法与后退欧拉法, 可以得到更精确的迭代式

$$y_{t}^{(k)}=y_{t-1}+\frac{h}{2}[f(x_{t-1},y_{t-1})+f(x_{t},y_{t}^{(k-1)})]$$

改进欧拉法

即仅迭代一次的梯形法, 将迭代初值称为预测值

$$\begin{cases}\bar{y_{t}}=y_{t-1}+h\cdot f(x_{t-1},y_{t-1}),&\text{预测值}\\ y_{t}=y_{t-1}+\frac{h}{2}[f(x_{t-1},y_{t-1})+f(x_{t},\bar{y_{t}})],&\text{校正值}\end{cases}$$

数值解法的精度

局部截断误差

假设前 $i$ 步的计算结果均为正确, 则在第 $i$ 步有局部截断误差 (注意是同级精确值 - 同级计算值)

$$R_{i}=y(x_{i+1})-y_{i+1}$$

算法精度

当截断误差满足 ($o(p^n)$ 表示高阶无穷小, $O(p^n)$ 表示等价无穷小)

$$R_{i}=kh^{p+1}+o(p^{p+2})=O(p^{p+1})$$

由于截断误差在每次递推的过程都存在, 因此阶数还需要再降低, 由此定义, 此时此算法具有 $p$ 阶精度

欧拉法与后退欧拉法的精度

对于这两种方法, 利用泰勒展开可以得到, 均有 $p=1$, 属于一阶精度

梯形欧拉法精度

对于梯形欧拉法, 有 $p=2$, 属于二阶精度

精度计算

• 认为之前 $i$ 步均没误差, 因此有

$$y'(x_i)=f(x_i,y_i)$$

• 由于步长确定, 因此可以展开 $x_{i+1}=x_i+h$
• 由于 $x_{i+1}-x_i=h$ 已知, 因此可以使用泰勒展开

$$y(x_i+h)-y(x_i)=y(x_i)+hy'(x_i)+\frac{h^2}{2}y'(x_i)+\dots+\frac{h^n}{n!}y^{(n)}(x_i)+O(h^{n+1})$$

• 对于 $f(x_{i+1})-f(x_i)=y'(x_{i+1})-y'(x_i)$ 也可对 $y'(x)$ 使用泰勒展开
• 变形 $y(x_{i+1})+y(x_i)=[y(x_{i+1})-y(x_i)]+2y(x_i)$