数值积分

代数精度

当求积公式对次数不超过 $m$ 的多项式能够准确成立, 但对 $m+1$ 次多项式不成立, 则称求积公式具有 $m$ 次代数精度

确定代数精度/积分公式的系数

对于

$$I=\int_a^bf(x)dx$$

可以令 $f(x)=x^i$, 从 $0$ 开始不断提高 $i$, 直到公式不成立, 注意积分上下限 $a,b$

牛顿-柯斯特公式

即等距插值公式的积分形式, $n$ 阶公式至少具有 $n$ 次代数精度, 其中偶数阶的公式具有 $n+1$ 次代数精度 ($n$ 阶对应 $n$ 次插值, 等距离的取区间内的 $n+1$ 个点)

梯形公式

取 $n=1$, 具有 $n=1$ 次代数精度 将积分区间的两个端点相连, 计算围成的梯形的面积, 近似为积分结果 (积分属于计算面积, 因此 $b-a$ 项不能忘)

$$\int_a^bf(x)dx\approx\frac{b-a}{2}[f(a)+f(b)]$$

辛普森公式

取 $n=2$, 具有 $n+1=3$ 次代数精度

$$\int_a^bf(x)dx\approx\frac{b-a}{6}[f(a)+4f(\frac{a+b}{2})+f(b)]$$

复合求积公式

当 $n\ge8$ 时, 公式出现负数系数, 不具有稳定性, 可分段使用低阶公式

复合梯形公式

将积分区间 $[a,b]$ $n$ 等分, 得到 $x_i=a+ih,h=\frac{b-a}{n}$, 对每一个分段采用梯形公式有 (需要乘上每一段的步长 $h$, 并在累加中提出)

$$I=\int_a^bf(x)dx\approx\sum_{i=0}^{n-1}\frac{h}{2}[f(x_i)+f(x_{i+1})]\\=\frac{h}{2}[f(a)+2\sum^{n-1}_{i=1} f(x_i)+f(b)]$$

公式误差阶数为 $h^2$

复合辛普森公式

对每一个分段采用辛普森公式有(辛普森公式还需要子区间内的中点)

$$I=\int_a^bf(x)dx\approx\sum_{i=0}^{n-1}\frac{h}{6}[f(x_i)+4f(x_{i+\frac{1}{2}})+f(x_{i+1})]\\=\frac{h}{6}[f(a)+2\sum^{n-1}_{i=1}f(x_i)+4\sum^{n-1}_{i=0}f(x_{i+\frac{1}{2}})+f(b)]$$

公式误差阶数为 $h^4$

递推化复合求积

符号

1. 规定 $T_m(h)$ 表示采用 $m+1$ 阶公式, 子区间长度为 $h$ 的复合求积值, 其中 $T_0(h)$ 即梯形公式
2. 规定 $T_m^{(k)}$ 表示长度 $k$ 次二分后的复合求积值, 即 $T_m^{(k)}(h)=T_m(\frac{h}{2^{k}})$, 其中 $(h)$ 可省略

递推公式

梯形公式中, 如果二分区间, 可得到二分子区间的梯形公式

$$\int_a^bf(x)dx\approx\frac{b-a}{4}[f(a)+f(b)+2f(\frac{a+b}{2})]$$

对每一个子区间使用可得

$$T_0^{(1)}=\frac{h}{4}[f(a)+2\sum^{n-1}_{i=1}f(x_i)+2\sum^{n-1}_{i=0}f(x_{i+\frac{1}{2}})+f(b)]\\=\frac{1}{2}T_0^{(0)}+\frac{h}{2}\sum^{n-1}_{i=0}f(x_{i+\frac{1}{2}})$$

• 递推公式中, 每次二分都从上一个积分值得到, 避免重复计算
• 带入 $n'=2n,h'=\frac{h}{2}$ 推广可得到任意次二分公式

龙贝格算法

可通过低阶的复化求积公式递推到高阶的复化求积公式

$$T_{m}^{(k)}=\frac{4^m}{4^m-1}T^{(k+1)}_{m-1}-\frac{1}{4^m-1}T^{(k)}_{m-1}$$