特征值

参考教程 麻省理工公开课 线性代数 P21~P25

特征值基础

特征值与特征向量的定义

特征值依然以方阵为讨论对象
对于一个 $n\times n$ 的矩阵 $A$, 存在某些方向的向量 $\vec{x}$ 在右乘 $A$ 后, 得到的结果仍然平行于 $\vec{x}$, 将具有这种特性的向量称为特征向量 $\vec{x}$, 而称相乘结果 $A\vec{x}$ 与原向量 $\vec{x}$ 之比 $\lambda$ 为特征值, 有

$$A\vec{x}=\lambda\vec{x}$$

对于一个矩阵 $A$ 的特征向量 $\vec{x}$, 与其同一方向上所有向量均能作为特征向量, 一般仅使用其中一个非零向量代表这个方向

特征值与特征向量的计算

在特征值与特征向量的定义式中, 存在着两个未知变量, 为此需要进行如下变形

$$\begin{split} A\vec{x}&=\lambda\vec{x}\\ (A-\lambda I)\vec{x}&=\vec{0} \end{split}$$

此时, 仅当矩阵 $A-\lambda I$ 为不可逆矩阵, 方程 $(A-\lambda I)\vec{x}=\vec{0}$ 才会存在非零解
而要当矩阵 $A-\lambda I$ 为不可逆矩阵时, 根据行列式的性质, 有

$$\det(A-\lambda I)=0$$

上式可展开为一个关于 $\lambda$ 的 $n$ 次方程, 称为特征方程, 因此对于一个 $n\times n$ 方阵, 其共有 $n$ 个特征值
并且其中可能存在多重根与复根, 因此也存在多重特征值与复数特征值的情况

得到特征值后可得, 对于任意一个特征值 $\lambda$, 其有特征向量 $\vec{x}$ 有无数多个, 并且这些特征值均来自矩阵 $A-\lambda I$ 的零空间
通常在计算出特征值后, 选择 $N(A-\lambda I)$ 的一组基作为该特征的特定特征向量
注意, $N(A-\lambda I)$ 的维数与 $\lambda$ 的重数无关, 因此有 $n$ 个特征值不代表有 $n$ 个不平行的特征向量 $\vec{x}$

特征值的特性

• 将方阵 $A$ 对角线上的元素之和称为迹 $tr(A)$
  • 矩阵 $A$ 的迹等于其特征值之和, 可用该性质寻找最后一个特征值
  • 矩阵的迹的相反数等于其特征方程中的一次项系数
• 对于方阵 $A$ 的行列式
  • 矩阵 $A$ 的行列式等于其特征值之积
  • 矩阵的行列式也等于其特征方程中的常数项
• 对于矩阵 $A$ 有特征值 $\lambda$, 则矩阵数乘 $kA$ 有特征值 $k\lambda$
• 对于矩阵 $A$ 有特征值 $\lambda$, 则矩阵与单位矩阵运算 $A+kI$ 有特征值 $\lambda+k$, 且对应特征值的特征向量相同, 证明如下 (注意对于任意两个矩阵 $A,B$, 其和与积的特征值不存在特殊性质)

$$(A+kI)\vec{x}=\lambda\vec{x}+k\vec{x}=(\lambda+k)\vec{x}$$

• 矩阵 $A$ 以及其转置 $A^T$ 具有相同的特征值, 该性质由行列式的推论七可得到
• 矩阵 $A$ 的逆 $A^{-1}$ 的特征值为矩阵 $A$ 特征值 $\lambda_i$ 的倒数 $\frac{1}{\lambda_i}$
• 对于矩阵 $A,B$, 其乘积 $AB$ 与 $BA$ 具有相同的特征值, 证明有 $(AB)\vec{x}=\lambda\vec{x}\to(BA)(B\vec{x})=\lambda(B\vec{x})$, 更多关于矩阵相乘与特征值的关系间参考资料

特殊矩阵的特征值

投影矩阵

对于投影矩阵 $P$, 根据投影矩阵的性质

• 对于 $\vec{x}\in C(P)$, 此时有 $P\vec{x}=\vec{x}$, 因此认为投影矩阵列空间 $C(P)$ 中的任意向量均为 $P$ 的特征向量, 且有特征值 $\lambda=1$
• 对于 $\vec{x}\perp C(P)$ (与 $C(P)$ 中的所有向量正交), 此时有 $P\vec{x}=\vec{0}$, 即类似不可逆矩阵 $S$ 的情况, 对于这些向量 $\vec{x}\in N(P)$, 也是 $P$ 的特征向量, 有特征值 $\lambda=0$
• 因此投影矩阵仅有特征值 $1$ 与 $0$

标准正交矩阵

注意到对于任意向量 $\vec{x}$ 与标准正交矩阵 $Q$

$$\begin{Vmatrix}Q\vec{x}\end{Vmatrix}=\sum_{i=1}^n |x_i|\begin{Vmatrix}\vec{q}_i\end{Vmatrix}=\begin{Vmatrix}\vec{x}\end{Vmatrix}$$

因此标准正交矩阵不会改变向量的长度, 在求特征值时有 $\begin{Vmatrix}Q\vec{x}\end{Vmatrix}=|\lambda|\begin{Vmatrix}\vec{x}\end{Vmatrix}\to \begin{Vmatrix}\lambda\end{Vmatrix}=1$

正交矩阵的特征值 $\lambda$ 也可能为复数, 但绝对值必定为 $1$

对称矩阵

对于对称矩阵, 其特征值全为实数, 且不同特征值的特征向量相互垂直

例如对称矩阵 $S=\begin{bmatrix}3&1\\1&3\end{bmatrix}$, 其有特征方程

$$\begin{split} \begin{vmatrix}3-\lambda&1\\1&3-\lambda\end{vmatrix}&=0\\ (3-\lambda)^2-1&=0\\ \lambda^2-6\lambda+8&=0 \end{split}$$

解得其有特征值

• $\lambda_{1}=2$, 对应特征向量 $\vec{x}_1=\begin{bmatrix}1&-1\end{bmatrix}^T$
• $\lambda_{2}=4$, 对应特征向量 $\vec{x}_2=\begin{bmatrix}1&1\end{bmatrix}^T$

反对称矩阵

对于反对称矩阵 ($A=-A^T$), 其特征值全为纯虚数

例如对称矩阵 $A=\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix}$ (同时该矩阵也是 $90\degree$ 的旋转矩阵), 其有特征方程

$$\begin{split} \begin{vmatrix}-\lambda&-1\\1&-\lambda\end{vmatrix}&=0\\ \lambda^2+1&=0\\ \lambda&=\pm i \end{split}$$

对于一般矩阵, 其特征值介于二者之间, 可能为实数或复数, 且通常越对称, 实数越多

上三角矩阵

对于上三角矩阵, 其对角线上的值即其特征值 (根据行列式的性质易得)

例如上三角矩阵 $U=\begin{bmatrix}3&1\\0&3\end{bmatrix}$, 其有特征方程

$$\begin{split} \begin{vmatrix}3-\lambda&1\\0&3-\lambda\end{vmatrix}&=0\\ (3-\lambda)^2&=0\\ \lambda&=3 \end{split}$$

解得该矩阵有特征根 $\lambda=3$, 且为二重特征根
此外, 对于 $U-3I=\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}$, 该矩阵的零空间维数 $dim[N(U-3I)]=2-r=1$, 因此零空间为一维
这表明该矩阵仅有一个方向的特征向量 $\vec{x}=\begin{bmatrix}1&0\end{bmatrix}^T$

对角化

对角化分解

对于一个 $n\times n$ 的矩阵 $A$, 将其任意 $n$ 个特征向量 $\vec{x}_k$ 组成特征矩阵 $S$
根据特征值与特征向量的定义, 矩阵 $A$ 与其特征矩阵 $S$ 相乘时有

$$\begin{split}AS&=A\begin{bmatrix}\vec{x}_1&\vec{x}_2&\dots&\vec{x}_n\end{bmatrix}\\ &=\begin{bmatrix}\lambda_1\vec{x}_1&\lambda_2\vec{x}_2&\dots&\lambda_n\vec{x}_n\end{bmatrix}\\ &=\begin{bmatrix}\vec{x}_1&\vec{x}_2&\dots&\vec{x}_n\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\lambda_1&0&0&0\\0&\lambda_2&0&0\\\vdots&&&\vdots\\0&0&0&\lambda_n\end{bmatrix}\\ &=S\Lambda \end{split}$$

其中矩阵 $\Lambda$ 为一个以 $A$ 的特征值组成的对角矩阵

当这 $n$ 个特征向量不平行且非 $0$ 时, 矩阵 $S$ 可逆, 因此有对角化分解

$$A=S\Lambda S^{-1}$$

对角化矩阵的条件

易得, 当一个矩阵具有 $n$ 个不同的特征值 $\lambda$ 时, 各个特征值都将对应一个方向的特征向量, 且这些特征向量互相平行, 因此该矩阵能够对角化

但是当一个矩阵的特征值中有重根时, 其重根不一定对应与根的重数相同的, 互不平行的特征向量, 因此有可能无法对角化, 如前文的例子 (注意没有重根仅是可对角化的充分条件, 存在重根时仍有可能可以对角化)

但在一般情况下, 对于绝大部分的矩阵均能对角化, 对于不可对角化的矩阵可参见若尔当定理

矩阵的幂

当矩阵满足对角化条件并对角化后, 对于矩阵的 $k$ 次幂有

$$A^k=S\Lambda^k S^{-1}$$

根据对角矩阵的特性, 对于矩阵的任意次幂, 其特征向量不变, 特征值变为原矩阵的 $k$ 次 $\lambda'=\lambda^k$

当矩阵所有特征值满足 $\begin{Vmatrix}\lambda\end{Vmatrix}<1$, 有 $\lim_{k\to\infty}A^k=0$

状态方程

离散差分状态方程

对于一个具有 $n$ 个参数的线性系统, 可以使用一个向量 $\vec{u}$ 表示这些参数, 并以此体现系统的状态
系统中相邻的两个时刻的状态之间满足线性方程组 $\vec{u}_{i+1}=A\vec{u}_i$

因此对于初态为 $\vec{u}_0$ 的系统在第 $k$ 个时刻下, 系统的状态为 $\vec{u}_k=A^k\vec{u}_0$

通过求解 $\vec{u}_0=S\vec{c}$ 可得到向量 $\vec{u}_0$ 关于特征矩阵各列的分量 $\vec{c}$, 此时

$$\vec{u}_k=A^k\vec{u}_0=S\Lambda^kSS^{-1}\vec{c}=S\Lambda^k\vec{c}=\sum_{i=1}^n\vec{x}_i\lambda_i^k c_i$$

对于 $\vec{u}_k$ 的第 $j$ 个分量 $\{\vec{u}_k\}_j$ 有 ($a_{ji}$ 为待定系数, 可通过代回状态方程或投影具体求解)

$$\{\vec{u}_k\}_j=\sum_{i=1}^n a_{ji}\lambda_i^k$$

当 $k\to\infty$ 时

• 对于 $\begin{Vmatrix}\lambda_i\end{Vmatrix}<1$, $\vec{u}_k$ 中在 $\vec{x}_i$ 方向上的分量将逐渐趋近于 $0$, 而对结果没有影响
• 对于 $\lambda_i=1$, $\vec{u}_k$ 中在 $\vec{x}_i$ 方向上的分量始终不变
• 对于 $\lambda_i=e^{i2\pi/n}$, $\vec{u}_k$ 中在 $\vec{x}_i$ 方向上的分量可能 $n$ 为周期变化, 当所有特征值都满足这一特点时, 存在特定次幂 $k$ 使 $A^k=I$
• 当所有特征量 $\begin{Vmatrix}\lambda_i\end{Vmatrix}<1$, $\vec{u}_k$ 将逐渐趋于 $0$, 系统趋于稳定
  反之, 当存在 $\begin{Vmatrix}\lambda_i\end{Vmatrix}>1$, 系统的参数将逐渐发散
• 当 $\lambda_i$ 为特征值中的最大值, 且 $\begin{Vmatrix}\lambda_i\end{Vmatrix}>1$, 则认为 $k$ 时刻下系统的参数 $\vec{u}_{k}\approx \vec{x}_i\lambda_i^k c_i$

差分方程求解示例

以斐波那契数列为例展示状态方程的应用
对于斐波那契数列有初始条件 $f_0=0,f_1=1$
数列中的值满足 $f_{k+2}=f_{k+1}+f_{k}$
由于方程中存在两个参数, 因此可以令参数向量 $\vec{u}=\begin{bmatrix}f_{k+1}&f_{k}\end{bmatrix}^T$
同时补充方程 $f_{k+1}=f_{k+1}$, 使参数与方程数相当
此时有状态方程

$$\begin{cases} f_{k+2}=f_{k+1}+f_{k}\\ f_{k+1}=f_{k+1} \end{cases} \to \vec{u}_{k+1}=\begin{bmatrix}1&1\\1&0\end{bmatrix}\vec{u}_{k}$$

对于状态方程中的矩阵 $A=\begin{bmatrix}1&1\\1&0\end{bmatrix}$, 求该矩阵的特征值

$$\begin{split} \begin{vmatrix}1-\lambda&1\\1&-\lambda\end{vmatrix}&=0\\ \lambda^2-\lambda-1&=0 \end{split}$$

解得

$$\lambda_1=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\approx 1.618\quad\lambda_2=\frac{1-\sqrt{5}}{2}\approx -0.618$$

其中 $\begin{Vmatrix}\lambda_1\end{Vmatrix}>1$, $\begin{Vmatrix}\lambda_2\end{Vmatrix}<1$, 因此当 $k$ 足够大时, $f_k\approx C\cdot 1.618^k$

通过具体求解可得两个特征值分别对应特征向量

$$\vec{x}_1=\begin{bmatrix}\frac{1+\sqrt{5}}{2}\\1\end{bmatrix}\quad \vec{x}_2=\begin{bmatrix}\frac{1-\sqrt{5}}{2}\\1\end{bmatrix}$$

通过 $S\vec{c}=\vec{u}_0$ 求解分量 $\vec{c}$ 可得, 对于两个特征向量, 有线性组合

$$\vec{u}_0=\frac{1}{\sqrt{5}}\vec{x}_1-\frac{1}{\sqrt{5}}\vec{x}_2$$

最终解得数列的通项公式为

$$f_k=\frac{1}{\sqrt{5}}(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^k-\frac{1}{\sqrt{5}}(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^k$$

连续微分状态方程

同样以向量 $\vec{u}$ 表示系统特定状态下的一组参数
此时系统关于时间连续, 系统各个参数的变化量满足线性微分方程组

$$\frac{\mathrm{d}\vec{u}}{\mathrm{d}t}=A\vec{u}$$

注意, 此时 $\vec{u}$ 是一个关于时间 $t$ 的函数, 且通常有确定的初态 $\vec{u}(0)$
将 $\vec{u}(t)$ 投影到特征矩阵 $S$ 上, 得到投影分量 $\vec{v}(t)$, 令 $\vec{u}(t)=S\vec{v}$, 此时方程有

$$\begin{split}\frac{\mathrm{d}\vec{u}}{\mathrm{d}t}&=A\vec{u}\\ S\frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t}&=S\Lambda S^{-1} S\vec{v}(t)\\ \frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t}&=\Lambda\vec{v}(t) \end{split}$$

通过变形后, 方程各个变量被解耦为 $n$ 个仅与 $v_i(t)$ 有关的一阶微分方程 $\frac{\mathrm{d}v_i}{\mathrm{d}t}=\lambda_i v_i(t)$
对于这类微分方程解的一般形式即 $v_i(t)=C_ie^{\lambda_i t}$
因此方程的解为

$$\vec{u}(t)=S\vec{v}(t)=\sum_{i=1}^nC_i\vec{x}_ie^{\lambda_i t}$$

当 $t\to\infty$ 时, 认为系统达到稳态

• 对于 $Re[\lambda_i]<0$, 分量 $\begin{Vmatrix}e^{\lambda_i t}\end{Vmatrix}=\begin{Vmatrix}e^{-a_i t}\end{Vmatrix}\begin{Vmatrix}e^{ib t}\end{Vmatrix}=\begin{Vmatrix}e^{-a_i t}\end{Vmatrix}\cdot 1\to 0$
  该分量的效果会随时间不断减弱, 并在稳态消失
• 对于 $\lambda_i=0$, 其在 $\vec{u}$ 中为一个不随时间变化的常数项
• 对于 $Re[\lambda]>0$, 相反此分量将 $\begin{Vmatrix}e^{\lambda_i t}\end{Vmatrix}\to\infty$
• 因此仅当矩阵的任意特征值满足 $Re[\lambda_i]<0$ 或 $\lambda_i=0$, 系统才能收敛于一个有限的状态, 即系统稳定的条件

微分方程求解示例

假设系统参数 $u_1,u_2$ 有初态 $\vec{u}(0)=\begin{bmatrix}1&0\end{bmatrix}^T$
满足以下微分方程

$$\begin{cases} \frac{\mathrm{d}u_1}{\mathrm{d}t}=-u_1+2u_2\\ \frac{\mathrm{d}u_2}{\mathrm{d}t}=u_1-2u_2 \end{cases} \to \frac{\mathrm{d}\vec{u}}{\mathrm{d}t}= \begin{bmatrix} -1&2\\ 1&-2 \end{bmatrix}\vec{u}$$

对于状态方程中的矩阵 $A=\begin{bmatrix}-1&2\\1&-2\end{bmatrix}$, 求该矩阵的特征值

$$\begin{split} \begin{vmatrix}-1-\lambda&2\\1&-2-\lambda\end{vmatrix}&=0\\ \lambda^2+3\lambda&=0 \end{split}$$

解得

$$\lambda_1=0\quad\lambda_2=-3$$

其中 $\lambda_1=0$, $\lambda_2<0$, 因此当 $t$ 足够大时, $\lambda_2$ 的影响将逐渐消失, 系统将趋近于稳态 $C_1\vec{x}_1$

通过具体求解可得两个特征值分别对应特征向量与解的形式

$$\begin{split} &\vec{x}_1=\begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix}\quad \vec{x}_2=\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}\\ &\vec{u}(t)=C_1\begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix}+C_2e^{-3t}\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix} \end{split}$$

通过初态条有

$$C_1\begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix}+C_2\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2&1\\1&-1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}C_1\\C_2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}=\vec{u}(0)$$

解出待定常数 $C_1,C_2$ 可得

$$\vec{u}(t)=\frac{1}{3}\begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix}+\frac{1}{3}e^{-3t}\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}$$

高阶微分量的处理

类似差分方程中的处理

当连续微分状态方程中出现了高阶微分量如 $u_1^{(m)}=\frac{\mathrm{d}^mu_1}{\mathrm{d}t^m}$
可将阶数低于 $m$ 的微分量视为独立的参数, 并补充方程 $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}[u_1^{(i)}]=u_1^{(i+1)}$

例如常系数微分方程 $y'''+ay''+by''+cy=0$ 有最高阶微分量 $y'''$, 因此将剩余参数与微分量视为独立的参数 $u_3=y\;u_2=y';u_1=y''$
此时有状态方程

$$\frac{\mathrm{d}\vec{u}}{\mathrm{d}t}= \begin{bmatrix} y'''\\ y''\\ y' \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} -a&-b&-c\\ 1&0&0\\ 0&1&0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} y''\\ y'\\ y \end{bmatrix}$$

对于多个参数的处理方式相同

系统稳定判据

对于二参数的系统, 有系数矩阵 $A=\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}$
根据稳定性的要求有 $Re[\lambda_1],Re[\lambda_2]<0$

由特征值的特性可得, 此时

$$\begin{cases} tr(A)=\lambda_1+\lambda_2<0\\ \det(A)=\lambda_1\lambda_2>0 \end{cases} \to \begin{cases} tr(A)=a+d<0\\ \det(A)=ad-cb>0 \end{cases}$$

矩阵指数

为了求解连续微分状态方程, 还有另一思路, 即直接计算矩阵指数 $e^{At}$

首先将 $e^{At}$ 以泰勒级数的方式展开有 (注意, $t$ 为一个标量)

$$\begin{split} e^{At}&=\lim_{j\to\infty}\sum_{i=0}^j\frac{(At)^i}{i!}\\ &=\lim_{j\to\infty}\sum_{i=0}^j\frac{S\Lambda^{i} S^{-1}t^i}{i!}\\ &=\lim_{j\to\infty}S\Big(\sum_{i=0}^j\frac{\Lambda^{i}t^i}{i!}\Big)S^{-1}\\ &=Se^{\Lambda t}S^{-1} \end{split}$$

其中根据对角矩阵的特性, $e^{\Lambda t}$ 满足

$$\begin{split} Se^{\Lambda t}S^{-1}&=\lim_{j\to\infty}S\begin{bmatrix} \sum_{i=0}^j\frac{(\lambda_1t)^i}{i!}&0&\dots&0\\ 0&\ddots&&0\\ \vdots&&\ddots&\vdots\\ 0&0&\dots&\sum_{i=0}^j\frac{(\lambda_n t)^i}{i!} \end{bmatrix} S^{-1}\\ &=\lim_{j\to\infty}S\begin{bmatrix} e^{\lambda_1 t}&0&\dots&0\\ 0&\ddots&&0\\ \vdots&&\ddots&\vdots\\ 0&0&\dots&e^{\lambda_n t} \end{bmatrix} S^{-1} \end{split}$$

因此连续微分状态方程 $\frac{\mathrm{d}\vec{u}}{\mathrm{d}t}=A\vec{u}$ 的解 $\vec{u}(t)$ 满足 (使用此处的推导也能得到同样的结果)

$$\vec{u}(t)=e^{At}\vec{u}(0)=Se^{\Lambda t}S^{-1}\vec{u}(t)$$

但是注意, 结论 $e^{At}=Se^{\Lambda t}S^{-1}$ 仅在 $A$ 满足对角化的条件下成立

马尔可夫矩阵

马尔科夫矩阵是离散差分状态方程中一类特殊的系数矩阵

定义当 $n\times n$ 的方阵 $A$ 满足以下条件时, 称之为马尔可夫矩阵

• 矩阵的各列元素之和等于 $1$
• 矩阵的各个元素大于等于 $0$

马尔可夫矩阵的特征值将具有以下特性

1. 马尔可夫矩阵的任意特征值满足 $\begin{Vmatrix}\lambda_i\end{Vmatrix}\ge 0$
2. 马尔可夫矩阵存在至少一个特征值满足 $\lambda_k=1$
3. 马尔科夫矩阵的任意次幂依然是马尔科夫矩阵

由马尔可夫矩阵的特性与离散差分状态方程稳态与 $\lambda$ 的关系可得, 当系统的系数矩阵为马尔科夫矩阵时, 当 $k$ 足够大, 系统参数将仅与 $\lambda_i=1$ 对应的特征向量有关
并且马尔科夫矩阵中, 状态参数之和始终不变

现就特性二给出证明
由于矩阵各列元素之和为 $1$, 因此矩阵 $A-I$ 的各列元素之和为 $0$
这表明矩阵行向量之和为零, 即左零空间 $N[(A-I)^T]$ 中存在向量 $\begin{bmatrix}1&1&\dots&1\end{bmatrix}$
因此矩阵的秩 $r<n$, 不可逆, 有 $\det(A-I)=0$

马尔科夫矩阵示例

基于马尔可夫矩阵的特定, 其往往用于描述一个总和不变的系统中的各个部分随时刻的变化
例如有城市 $A,B$, 假设两城市总人数不变, 开始时城市人数为 $u_A=0,u_B=1000$

• $A$ 城每年有 $90\%$ 的人口留在 $A$ 城, $10\%$ 的人口移居到 $B$ 城
• $B$ 城每年有 $80\%$ 的人口留在 $B$ 城, $20\%$ 的人口移居到 $A$ 城

因此有离散状态方程

$$\begin{bmatrix}u_A\\ u_B\end{bmatrix}_{k+1}=\begin{bmatrix}0.9&0.2\\0.1&0.8\end{bmatrix}\begin{bmatrix}u_A\\ u_B\end{bmatrix}_{k}$$

最后可以解得

$$\begin{bmatrix}u_A\\ u_B\end{bmatrix}_{k}=\frac{1000}{3}\begin{bmatrix}2\\ 1\end{bmatrix}+\frac{2000}{3}(0.7)^k\begin{bmatrix}-1\\ 1\end{bmatrix}$$