行列式

参考教程 麻省理工公开课 线性代数 P18~P20

行列式基础

行列式为所有方阵都具有的一个特殊值
使用 $\det(A)$ 或 $|A|$ 表示方阵 $A$ 的行列式
当 $\det(A)=0$ 表示矩阵不可逆

行列式的基本性质

行列式具有以下四个基本性质

基本性质一

对于任意单位矩阵 $I$, 其行列式为 $1$

$$\det(I)=1$$

基本性质二

当矩阵内的两行被交换后, 其行列式的值取反

• 注意该性质表明, 无法通过奇数次行交换得到与偶数次行交换相同的结果

$$\begin{vmatrix}a&b\\ c&d\end{vmatrix}=-\begin{vmatrix}c&d\\ a&b\end{vmatrix}$$

基本性质三

当矩阵内的任意一行乘上系数 $k$, 其行列式的值也乘上该系数 $k$

$$\begin{vmatrix}ka&kb\\ c&d\end{vmatrix}=k\begin{vmatrix}a&b\\ c&d\end{vmatrix}$$

基本性质四

当两个除特定一行不同, 其余相同的两个矩阵的行列式之和, 等于该行系数相加, 其余不变的矩阵的行列式

$$\begin{vmatrix}a+u&b+v\\ c&d\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}a&b\\ c&d\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}u&v\\ c&d\end{vmatrix}$$

最后两个性质表明, 行列式不满足线性性, 但行列式每一行单独满足线性性

重要推论

根据行列式的基本性质, 可得出以下推论

推论一

当矩阵中有两个相同的行, 则该矩阵的行列式为 $0$
该推论可由基本性质 $2$ 得到, 因为行交换后符号取反但矩阵不变, 行列式仅能是 $0$

$$\begin{vmatrix}a&b\\ a&b\end{vmatrix}=0$$

推论二

矩阵的第 $i$ 行乘上系数 $k$ 减去第 $j$ 行, 行列式不变
该推论可由推论 $1$ 与基本性质 $3,4$ 得到

$$\begin{vmatrix}a&b\\ c-ka&d-kb\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}a&b\\ c&d\end{vmatrix}-k\begin{vmatrix}a&b\\ a&b\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}a&b\\ c&d\end{vmatrix}$$

推论三

当矩阵有一行全为 $0$, 则该矩阵的行列式为 $0$
该推论可由基本性质 $3$ 得到, 全为 $0$ 相当于对一行乘上系数 $0$, 得到的行列式为 $0$

$$\begin{vmatrix}a&b\\ 0&0\end{vmatrix}=0$$

推论四

对于上三角方阵 $U$, 其行列式为对角线上的元素 (主元) 之积

• 首先 $U$ 可通过推论 $2$ 化简为对角线方阵 $D$
• 然后根据基本性质 $3$ 提取各行的对角线上的系数得到的单位矩阵 $I$
• 最后根据基本性质 $1$, 可得矩阵的行列式即对角线上的元素之积
• 由此可得计算行列式的基本方法为通过消元法得到矩阵的所有主元, 将主元相乘得到行列式

$$\begin{vmatrix}d_1&*&*\\ 0&d_2&*\\0&0&d_3\end{vmatrix}=d_1d_2d_3$$

推论五

当 $n\times n$ 矩阵的秩 $r<n$, 即矩阵不可逆时, 该矩阵的行列式为 $0$
也可以认为, 当矩阵可逆时, 其行列式 $\neq 0$ 根据推论 $4$ 可得, $r<n$ 表明对角线上存在 $0$, 因此行列式为 $0$

推论六

两个方阵相乘的行列式, 等于两个矩阵分别计算行列式后相乘, 即 $\det(AB)=\det(A)\cdot \det(B)=\det(BA)$ (证明略)

• 该推论可推出结论, 对于可逆矩阵 $A$, 其逆的行列式为自身行列式的倒数 $\det(A^{-1})=1/\det(A)$
• 矩阵平方的行列式等于其行列式的平方 $\det(A^2)=\det^2(A)$
• 注意矩阵的数乘 $k$ 相当于对各列乘以系数 $k$, 因此, 对于 $n\times n$ 的矩阵 $A$ 根据性质 $3$, $k\cdot \det(A)=k^{n}\det(A)$
• 若 $A,B$ 不为方阵, 则该推论不成立

推论七

矩阵的转置的行列式与未转置的行列式相同 $\det(A)=\det(A^T)$ (证明略)

• 该推论表明与行有关的性质 $2,3,4$ 以及推论 $1,2,3$ 对于列同样成立

行列式的计算

二乘二矩阵的行列式

现有 $2\times 2$ 的任意矩阵, 推导其行列式的一般计算方法

$$\begin{split} \begin{vmatrix}a&b\\ c&d\end{vmatrix}&=\begin{vmatrix}a&0\\ c&d\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}0&b\\ c&d\end{vmatrix}\\ &=\begin{vmatrix}a&0\\ c&0\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}a&0\\ 0&d\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}0&b\\ c&0\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}0&b\\ 0&d\end{vmatrix}\\ &=\begin{vmatrix}a&0\\ 0&d\end{vmatrix}-\begin{vmatrix}b&0\\ 0&c\end{vmatrix}\\ &=ad-bc \end{split}$$

一般矩阵的行列式

对于 $n\times n$ 的任意行列式
根据 $2\times 2$ 矩阵行列式计算公式可得, 其最终都可利用基本性质三拆分为 $n^n$ 个, 每行仅有一个元素的行列式
这些被拆分的行列式中, 又仅有 $n!$ 个行列式每列仅有一个元素, 根据推论三与推论七 其余的行列式为 $0$
最终剩余的 $n!$ 个行列式每列仅有一个元素, 可通过基本性质二进行行交换, 转换为对角线矩阵
因此一般矩阵的行列式即 (注意正负号需要根据行交换的次数决定)

$$|A|=\sum_{k=1}^{n!}\pm\prod_{i=1}^n a_{im}$$

代数余子式

对于 $n\times n$ 的任意行列式 $|A|$ , 取其中任意一个元素 $a_{ij}$
将行列式的第 $i$ 行与第 $j$ 列的元素去除, 将余下的元素组成一个新的行列式 $|A'_{ij}|$ , 将该行列式的值称为余子式

当 $i+j$ 为奇数时, 将行列式的值乘以 $-1$, 将此时的结果称为代数余子式, 对于 $a_{ij}$ 的代数余子式 $c_{ij}$ 满足

$$c_{ij}=\begin{cases} |A'_{ij}|&,i+j\text{为偶数}\\ -|A'_{ij}|&,i+j\text{为奇数} \end{cases}$$

易得, 代数余子式 $c_{ij}$ 的本质即一般矩阵的行列式中, 所有包含 $a_{ij}$ 的项提出 $a_{ij}$ 后的和

因此, 对于第 $k$ 行的元素, 矩阵的行列式满足

$$|A|=\sum_{i=1}^n a_{ki}c_{ki}$$

其中

• 一般取 $k=1$ 或矩阵中 $0$ 最多的行使用代数余子式计算行列式
• 根据公式可得, 使用新的系数 $b_{ki}$ 代替原系数 $a_{ki}$, 就能得到将原矩阵中的第 $k$ 行换为 $\vec{b}$ 后的行列式
• 根据推论 $7$ 可得, 取矩阵的第 $k$ 列也能得到相同形式的行列式计算公式

行列式的应用

矩阵求逆公式

根据代数余子式的特点, 可以得到如下矩阵求逆的通用公式

$$A^{-1}=\frac{C^T}{\det(A)}$$

其中 $C$ 为代数余子式矩阵, 即 $c_{ij}$ 对应矩阵 $A$ 中元素 $a_{ij}$ 的代数余子式
称其转置 $C^T$ 为伴随矩阵

证明如下
上述命题等价于

$$AC^T=\begin{bmatrix} a_{11}&a_{12}&\dots&a_{1n}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\dots&a_{nn} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} c_{11}&\dots&c_{n1}\\ c_{12}&\dots&c_{n2}\\ \vdots&&\vdots\\ c_{1n}&\dots&c_{nn} \end{bmatrix}=\det(A)I$$

根据矩阵乘法法则, 矩阵 $A$ 与 $C^T$ 相乘的结果 $B$ 中, 第 $u$ 行 $v$ 列元素 $b_{uv}$ 来自 $A$ 的第 $u$ 行与 $C^T$ 的第 $v$ 列相乘

• 当 $u=v$, $b_{uu}=\sum_{i=1}^n a_{ui}c_{ui}$ 即 $\det(A)$ 行列式的计算公式, 因此 $b_{uv}=\det(A)$
• 当 $u\neq v$, 认为 $b_{uv}=\sum_{i=1}^n a_{ui}c_{vi}$ 为行列式 $\det(A_s)$ 的计算公式, 但是 $A_s$ 中的第 $v$ 行被替换成了 $A$ 中的第 $u$ 行, 此时 $A_s$ 中有两行相等, 显然 $b_{uv}=\det(A_s)=0$

因此公式成立

克拉默法则

在得到矩阵的求逆公式后, 将其用于含可逆矩阵的线性方程组求解, 有

$$\begin{split} A\vec{x}&=\vec{b}\\ \vec{x}&=\frac{1}{\det(A)}C^T\vec{b} \end{split}$$

根据变形结果可得, 对于方程的解 $x_k$ 满足

$$x_k=\frac{\sum_{i=1}^n b_ic_{ik}}{\det(A)}=\frac{\det(B_k)}{\det(A)}$$

对比代数余子式下的矩阵行列式公式, $\sum_{i=1}^n b_ic_{ik}$ 相当于将 $A$ 的第 $k$ 列替换为 $\vec{b}$ 的矩阵 $B_k$
因此可将含可逆矩阵的线性方程组求解转换为行列式的代数表达式, 称为克莱姆法则

体积与行列式

等价证明

将行列式的 $n$ 列视为 $n$ 条边, 以原点为一个顶点, 构成一个具有 $2n$ 条边的平行体
而行列式的绝对值即该平行体的体积 (行列式的符号反应边之间的顺序)

以三维的情况为例, 行列式的值反映了一个平行六面体的体积
现对照行列式的四个基本性质来证明这一命题

1. 对于单位矩阵 $I$, 其三个列反应了一个三维空间中的一个体积为 $1$ 的单位立方体, 与行列式相同
   • 对于正交矩阵 $Q$, 由于 $Q^TQ=I$, 有 $1=\det(Q^TQ)=\det(Q^T)\det(Q)=\det^2(Q)$
     可得, $\det(Q)=\pm 1$ 因此正交矩阵的三列反映了一个旋转了一定角度的单位立方体
2. 对于任意矩阵 $A$, 该矩阵的行交换相当于其转置 $A^T$ 的列交换, 行列式的绝对值始终不变
   对于体积, 边的顺序对体积没有影响, 因此体积的特性也符合该性质
3. 当平行六面体的一条边伸长 $k$ 倍, 显然其体积也将增大 $k$ 倍, 该性质与行列式的基本性质 $3$ 相符合

对于性质 $4$, 可用二维情况下的如图所示的平行四边形表示
如图所示, 对于同一斜边 $\vec{b}$, 以 $\vec{a}_1$ 和以 $\vec{a}_2$ 为斜边的两个平行四边形面积之和等于以 $\vec{a}_1+\vec{a}_2$ 为斜边的平行四边形面积
推广到高维依然成立, 因此体积的该性质与行列式的基本性质 $4$ 一致

三角形面积

当三角形的三个顶点 $(x_k,y_k),k=1,2,3$ 已知, 可通过如下行列式求出三角形的面积

$$S=\frac{1}{2}\begin{vmatrix} x_1&y_1&1\\ x_2&y_2&1\\ x_3&y_3&1 \end{vmatrix}$$

通过消元法消去右下角的两个 $1$, 在最后一列以代数余子式的方式展开时, 仅剩下右上角的 $1$ 乘以下方的行列式
该行列式的两行即将第一点移动至原点后三角形另外两边
通过乘以 $\frac{1}{2}$, 将平行四边形, 三角形的面积即该平行四边形面积 (行列式) 的一半

向量交叉积

定义三维空间中两个向量 $\vec{u},\vec{v}$ 的交叉积为 $\vec{u}\times\vec{v}$, 满足

$$\vec{u}\times\vec{v}=\begin{vmatrix} \vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\ u_1&u_2&u_3\\ v_1&v_2&v_3 \end{vmatrix}$$

交叉积具有以下性质

1. $\vec{u}\times\vec{v}=-\vec{v}\times\vec{u}$
2. 交叉积的结果与向量 $\vec{u},\vec{v}$ 正交, 因此 $\vec{u}\cdot(\vec{u}\times\vec{v})=0$, 且满足右手定则
3. 两个同方向向量的交叉积结果为向量 $\vec{0}$, 即 $(k\vec{u})\times\vec{u}=0$
   因此对于任意两个向量 $\vec{u},\vec{v}$ 叉乘, 可将 $\vec{v}$ 分解为相对 $\vec{u}$ 的垂直分量 $\vec{v}_{\perp}$ 与平行分量 $\vec{v}_{\parallel}$, 有 $\vec{u}\times\vec{v}_{\perp}=\vec{u}\times\vec{v}$
4. 交叉积结果的绝对值为以 $\vec{u},\vec{v}$ 为边的平行四边形的面积, 因此 $|\vec{u}\times\vec{v}|=|\vec{u}||\vec{v}||\sin\theta|$

交叉积矩阵

当固定向量 $\vec{u}$ 在左侧, 并在右侧乘以向量 $\vec{v}$, 则可等价为向量 $\vec{v}$ 左乘叉乘矩阵 $[\tilde{u}]$ (也写作 $[\vec{u}]$), 叉乘矩阵满足

$$[\tilde{u}]=\begin{bmatrix} 0&-u_z&u_y\\ u_z&0&-u_x\\ -u_y&u_x&0 \end{bmatrix},\quad \vec{u}\times\vec{v}=[\tilde{u}]\vec{v}=-\vec{v}^T[\tilde{u}]$$

可得 $[\tilde{u}]$ 为一个对角线为 $0$ 的反对称矩阵
而对于这类矩阵 $A$, 定义运算 $[\tilde{u}]=A^{\lor}=\vec{u}$ 可将叉乘矩阵转化为向量

混合积

对于三维空间中的三个向量 $\vec{u},\vec{v},\vec{w}$ 定义混合积 (也称为三重积) 运算满足

$$[\vec{u}\vec{v}\vec{w}]=(\vec{u}\times\vec{v})\cdot\vec{w}=\begin{vmatrix}u_1&u_2&u_3\\v_1&v_2&v_3\\w_1&w_2&w_3\end{vmatrix}$$

混合积具有以下性质

• 由行列式基本性质二, 交换混合积中任意两个向量的位置, 结果取反
• 由行列式性质推论四, 当三个向量位于同一平面时, 运算结果为 0
• 由体积与行列式关系可得, 混合积的结果为三个向量为棱边组成的平行六面体体积