时间响应

时间响应的组成

系统的时间响应由以下部分组成

$$x_o(t)=y(t)+B(t)$$

自由响应

$$y(t)=\sum_{i=1}^n A_{i}e^{s_i\cdot t}t^{m_i}$$

假设系统没有重根, 其中

• $s_i$ 为系统的特征根 (即传递函数的极点) (指数函数的拉氏变换)
• $n$ 为系统特征根的个数, 与输入无关
• $m_i$ 为特征根的重数, 通常为 $0$, 当有二重根 $s_i=s_{i+1}$, 则 $m_i=0,m_{i+1}=1$ (第一位移定理)
• $A_{i}$ 为自由相应的系数, 此部分受系统初始状态的影响

强迫响应

$$B(t)$$

强迫相应与系统的输入无关, 但强迫相应具有与输入相同的频率

• 当输入 $A\cos(\omega+\phi)$, 则强迫响应为 $A'\cos(\omega+\phi')$, 频率不变
• 当输入 $p(t)$ (多项式信号), 则稳态下的强迫响应为 $p(t)+e_{ss}$

一阶系统

基本形式

• 微分方程

$$T\frac{\mathrm{d}x_o}{\mathrm{d}t}+x_o=Kx_i$$

• 传递函数

$$G(s)=\frac{K}{1+Ts}$$

特征量

• 时间常数 $T$
  越小表示响应速度越快, 可从响应求出, 见课本 P84
• 增益 $K$
  即稳态灵敏度

二阶系统

基本形式

• 微分方程

$$T^2\frac{\mathrm{d}^2x_o}{\mathrm{d}t^2}+2\xi T\frac{\mathrm{d}x_o}{\mathrm{d}t}+x_o=Kx_i$$

• 传递函数

$$G(s)=\frac{K}{1+2\xi T s+T_n^2s^2}$$

特征量

• 阻尼比 $\xi$
  决定了方程特征根 (极点) 的形式, 见课本 P87
  通常 $\xi\in(0,1)$ 两特征根为共轭复根

• 无阻尼固有频率 $\omega_n$
  来自微分方程中的 $T$

$$\omega_n=\frac{1}{T}$$

• 有阻尼固有频率 $\omega_d$
  即阶跃 / 冲击响应输出信号的频率

$$\omega_d=\omega_n\sqrt{1-\xi^2}$$

阶跃响应特征

见课本 P91

稳态误差

误差与偏差

• 误差
  使用符号 $e / E_1$, 稳态误差使用符号 $e_{ss}$
  理想输出与实际输出之差
• 偏差
  使用符号 $\varepsilon / E$, 稳态误差使用符号 $\varepsilon_{ss}$
  实际输入与反馈之差
• 关系
  当反馈环节 $H(s)=1$ 时 (单位反馈), $e_{ss}=\varepsilon_{ss}$

开环传递函数

传递函数 $G(s)=\frac{G}{1\mp GH}$ 与系统响应特性有关
开环传递函数 $G_k(s)=GH$ 与系统的稳定性 / 精确性有关有关

$$G_k(s)=\frac{K\prod(1+T_{zr}s)\prod(1+2T_{zc}\xi_{z} s+T_{zc}^2s^2)}{s^v\prod(1+T_{pr}s)\prod(1+2T_{pc}\xi_{p} s+T_{pc}^2s^2)}$$

其中

• $\omega_n=\frac{1}{T}$ 为开环转角频率
• $v$ 系统无差度, 越大系统精度越高, 稳定越差

默认仅分析系统最外层的反馈, 内部的反馈整合需要先到 $G(s)$ 中

稳态误差分析

系统在稳定时, 信号不随时的偏差与误差 (输入与输出信号之差) 称为稳态误差

输入	阶跃 $x_i=1$	斜坡 $x_i=t$	加速度 $x_i=\frac{t^2}{2}$
$v=0$	$\varepsilon_{ss}=\frac{1}{1+K}$	$\varepsilon_{ss}=\infty$	$\varepsilon_{ss}=\infty$
$v=1$	$\varepsilon_{ss}=0$	$\varepsilon_{ss}=\frac{1}{K}$	$\varepsilon_{ss}=\infty$
$v=0$	$\varepsilon_{ss}=0$	$\varepsilon_{ss}=0$	$\varepsilon_{ss}=\frac{1}{K}$

对于复杂输入, 可分解为以上三种信号的线性叠加

$$x_i=a_0+a_1t+a_2\frac{t^2}{2}$$

稳态偏差为

$$\varepsilon_{ss}=a_0\varepsilon_{ss0}+a_1\varepsilon_{ss1}+a_2\varepsilon_{ss2}$$

单位反馈的条件下, $\varepsilon_{ss}=e_{ss}$