暂态电路

电容

$$i=C\frac{dU}{dt}$$

u-i 关系

$$u(t)=\int_{-\infty}^{t}\frac{idt}{C}=u(0^-)+\int_{0^-}^{t}\frac{idt}{C}$$

• 注意 $u(t)$ 的值域为全体实数, 且通常为分段函数

电容储能

$$w(t)=\frac{1}{2}Cu^2(t)$$

电容串并联

1. 串联 类似电阻并联
2. 并联 类似电阻串联

电感

$$u=L\frac{di}{dt}$$

u-i 关系

$$i(t)=\int_{-\infty}^{t}\frac{udt}{C}=i(0^-)+\int_{0^-}^{t}\frac{udt}{C}$$

电容储能

$$w(t)=\frac{1}{2}Li^2(t)$$

电容串并联

1. 串联 类似电阻串联
2. 并联 类似电阻并联

暂态电路初始值

稳态电容与电感

1. 认为 $t=0^-(\text{换路前}),+\infty(\text{换路后})$ 为稳态
2. 稳态下, 电容相当于开路
3. 稳态下, 电感相当于短路

换路定理

• 当开关闭合/打开时, 电容电压与电感电流不会突变

$$u_C(0^-)=u_C(0^+)$$

$$i_L(0^-)=i_L(0^+)$$

• 因此可以将换路后的电容视为电压源, 电压为换路前的开路电压
• 可以将换路后的电感视为电流源, 电流为换路前的短路电流

暂态电路

1. 零输入响应 指放电过程中没有电源输入
2. 零状态响应 指开关闭合前元件没有储存能量
3. 全响应即两种响应的叠加
4. 注意时间范围
5. 对于电容, 使用公式前, 先以电容为端口, 将跳变后的电路等效为戴维南支路, 时间常数的 $R$ 即等效电路的电阻, $u(+\infty)$ 即等效电压源
6. 对于电感, 同电容, 等效为诺顿支路

电容

• 零输入响应

$$u_C(t)=u_C(0)e^{\frac{-t}{RC}}(t>0)$$

• 零状态响应

$$u_C(t)=u_C(+\infty)(1-e^{\frac{-t}{RC}})(t>0)$$

• 全响应

$$u_C(t)=u_C(0)e^{\frac{-t}{RC}}+u_C(+\infty)(1-e^{\frac{-t}{RC}})(t>0)$$

• 时间常数

$$\tau=R_{eq}C$$

电感

• 零输入响应

$$i_L(t)=i_L(0)e^{\frac{-t}{LG}}(t>0)$$

• 零状态响应

$$i_L(t)=i_L(+\infty)(1-e^{\frac{-t}{RC}})(t>0)$$

• 全响应

$$i_L(t)=i_L(0)e^{\frac{-t}{LG}}+i_L(+\infty)(1-e^{\frac{-t}{RC}})(t>0)$$

• 时间常数

$$\tau=LG_{eq}$$

• 注意电感放电时电路中 $u$ 方向的变化