正弦稳态与三相电路分析

正弦稳态电路

相量法

正弦电量

$$u=U_m cos(\omega t+\phi)$$

1. $u$ 瞬时值
2. $U_m$ 最大值
3. $\omega$ 角频率
4. $\phi$ 初相位
5. $U=\frac{U_m}{\sqrt{2}}$ 有效值(电表测量结果)

相量法

$$\dot{U}=U\angle\phi$$

1. 相量中实部使用的是有效值, 转成瞬时值需要化为最大值
2. 使用相量的实部体现瞬时值
3. 基尔霍夫定律依然满足, 但需要使用相量计算

相量分析法

1. 通过画图, 结合相量之间的几何关系解题
2. 分析前选择一个相量为参考, 令其相位角为 $0^\circ$
3. 参考向量选择
   1. 电路已知条件最多的部分
   2. 在电路最内部
   3. 电阻上的 $\dot{I}$(串) 或 $\dot{U}$(并)

阻抗

元件阻抗

电阻

$$Z=R$$

电感

$$Z=j\omega L$$

电容

$$Z=\frac{1}{j\omega C}$$

阻抗性质

$$\dot{U}=\dot{I}Z$$

1. 阻抗依然满足串联与并联
2. 感性阻抗 $\phi>0$, $\dot{U}$ 超前
3. 容性阻抗 $\phi<0$, $\dot{U}$ 滞后
4. 由 1 得阻抗角度也体现 $\dot{U}$ 与 $\dot{I}$ 的夹角

功率

1. 功率计算所用到的均为有效值
2. 由功率求得 $U$, $I$ 后还需转化为相量
3. 公式中均使用参考方向
4. 除视在功率均满足功率守恒

有功功率

$$P=UIcos(\phi_U-\phi_I)$$

单位 $W$

无功功率

$$Q=UIsin(\phi_U-\phi_I)$$

单位 $var$

复功率

$$\bar{S}=P+jQ=ZI^2=\dot{U}\overline{\dot{I}}$$

单位为 $V\cdot A$
元件复功率相位角即阻抗相位角

视在功率

$$S=UI$$

单位为 $V\cdot A$

$$S=\sqrt{P^2+Q^2}$$

视在功率不满足功率守恒

功率因数

$$\lambda=\frac{P}{S}=cos(\phi_U-\phi_I)$$

功率因数即阻抗角的余弦值
阻抗角可能取正或负, 通过成感性(正)/容性(负)确定

功率因数矫正

1. 前提: 不改变负载的工作状态(电压)
2. 通过并联电容, 提高端口的功率因数
3. 分析时令 $\dot{U}$ 的相位为 $0$, 则 $\dot{I}$ 的相位为 $-\phi$
4. 向 $y$ 轴方向投影 $\dot{I}$, 比较其与目标功率因数下投影大小的差值(仅增加电容, $x$ 方向投影不会改变)
5. 由于并联分流, 因此此差值即矫正电容分压大小(端口电压不变)

最大功率传输

• 当负载阻抗与网络戴维南支路的等效阻抗满足共轭关系时, 负载获得的功率最大

$$Z_L=\overline{Z_{eq}}$$

• 最大有功功率为

$$P_{Lmax}=\frac{U_{oc}^2}{4R_{eq}}$$

其中 $U_{oc}$ 为等效电路的电压源有效值, $R_{eq}$ 为等效阻抗的实部

• 当负载为纯电阻时, 获得最大功率的条件为

$$R_L=|Z_{eq}|$$

易错知识点

1. 阻抗 $X$ 一定大于零, $Z$ 相位角一定在 $-90^{\circ}<\theta<90^{\circ}$ 范围内
2. 结合 $1$, 当仅电量的模长已知时, 可通过 $KCL$/$KVL$ 结合相量图, 提前求出电量的方向
3. 相量的模长为有效值, 直接使用其 $x$ 方向投影无意义

三相电路

1. 对称三相电压中, 满足 $\dot{U}_A+\dot{U}_B+\dot{U}_C=0$
2. $\dot{U}_A,\dot{U}_B, \dot{U}_C$ 按顺时针顺序以 $120^{\circ}$ 夹角排列
3. 相电压 $U_{xp}$ 仅含 $x$ 与中性点 $N$ 的电压, 因此也可写成 $U_{AN}$
4. 线电压 $U_{xl}$ $x$ 与 $y$(下一相) 对应节点之间的电压, 因此也可写成 $U_{AB}$
5. 相电流 $I_{xp}$ 线电流在 $U_{xl}$ $x$ 与 $y$(下一相) 的 $x$ 分流电流中
6. 线电流 $I_{xl}$ $x$ 端口上的总电流

星形联结(Y形)

• 相线电压满足关系

$$\dot{U}_{xl}=\sqrt{3}\dot{U}_{xp}\angle{30^{\circ}}$$

• 相线电流相同(区分无意义)

三角形联结($\Delta$形)

• 相线电压相同(区分无意义)
• 相线电流满足关系

$$\dot{I}_{xl}=\sqrt{3}\dot{I}_{xp}\angle{-30^{\circ}}$$

• 三角形联结中, 电压源正负极首尾相接, 按顺时针顺序排列

分相计算

此处公式仅适用于对称电路, 此时三相的电流电压关系完全相同, 负载大小相同

Y-Y

1. 取出其中一相与中性点构成回路, 计算此回路中的电量
2. 无论中性点上电阻取何值(短路或开路), 中性点上电流为 0, 且为等势点
3. 单相中与中性点之间的电压 $U_{aN}$ 即单相上结点的相电压
4. 通过公式转换即可得到线电压(不同相之间对应节点的电压) $U_{ab}$(或已知线电压, 计算相电压)
5. 单相中的电流即线电流, 对于 Y形 电路, 区分无意义
6. 等效回路中两个非中性点之间的电压无法转换(无意义)

Y-$\Delta$

• 通过将 $\Delta$ 形负载转化为等效的 $Y$ 形负载
• 由于负载对称, 满足关系

$$Z_{L\Delta}=\frac{1}{3}Z_{LY}$$

• 通过单个负载的电流计算公式等价于相电流的转换公式, 对于 $Y$ 型电源, 其相电流等于线电流

eg.

此电路中, 等效单相回路为两个负载并联, 且 $\Delta$ 负载上的电流为线电流 $I_{al1}$ , 单个负载上通过的实际电流为相电流 $I_{ap1}$, 计算时需要转换

$\Delta$-$\Delta$

1. 将$\Delta$ 形负载转化为等效的 $Y$ 形负载, 再将 $\Delta$ 形电压源转化为等效的 $Y$ 形电压源
2. $\Delta$ 形电压源中的单相电压即线电压(电压源均在两个端口之间), 将其转为相电压即可使用分相法计算

对称三相电路的功率

功率公式

• 与一般正弦电路功率不同, 三相电路的总功率为

$$P=3U_{p}I_{p}cos\phi=\sqrt{3}U_{l}I_{l}cos\phi$$

• 其他类型功率的计算类似, 均使用 $3U_{p}I_{p}$ 或 $\sqrt{3}U_{l}I_{l}$
• 功率因数, 其中 $\phi$ 为负载阻抗角

$$\lambda=cos\phi=\frac{P}{S}$$

• 由于三相对称, 因此单相功率即

$$P_{\text{单}}=U_{p}I_{p}cos\phi$$

计算注意

• 由于 $Y$ 型电路中 $I_l$ 与 $I_p$ 等价, 因此分相法中可直接使用 $P=3U_{p}I_{l}cos\phi$(不能直接对 $\Delta$ 负载使用)
• 分相法中的欧姆定律

$$\dot{U}_p=Z\dot{I}_l$$

• 题目中的电机功率均为三相总功率, 注意区分总功率(默认, 需要乘上系数)与单相功率

三相电路功率测量

瓦特表无星号线测量的是电流流出端 / 电压负极

三瓦特表法

1. 用于测量四线制三相电路 $P=P_1+P_2+P_3$, 如果对称则 $P_1=P_2=P_3$
2. 瓦特表的引出线接在 $N$ 上

两瓦特表法

• 用于测量三线制三相电路, 或对称线制三相电路, $P=P_1+P_2$, $P_1\neq P_2$
• 瓦特表的引出线接在无瓦特表的相上

• $$P_1=Re[\dot{U}_{ac}\overline{\dot{I}}_{a}]\neq P_2=Re[\dot{U}_{bc}\overline{\dot{I}}_{b}]$$

非对称三相电路

电源对称时可使用以下方法:

1. 有无负载的中性线 $N$ 时, 仍可用分相法, 但三相要单独计算
2. 其他情况可用节点分析法, 以 $N$ 为接地点
3. 线相电压转换关系依然满足

易错知识点

• 两表法测功率中

$$P_1\neq P_2$$

$$P_1=Re[\dot{U}_{ac}\overline{\dot{I}}_{a}]\neq P_2=Re[\dot{U}_{bc}\overline{\dot{I}}_{b}]$$

注意 $\dot{U}_{ac}$ 为 $C$ 的线电压
根据接线的位置不同, 公式中 $a$ 表示瓦特表所在相, $c$ 表示瓦特表引出端相
当公式中出现 $\dot{U}_{ac}$ 其值与 $\dot{U}_{ca}$ 相反, $\dot{U}_{ac}=-\dot{U}_{ca}=-\dot{U}_{ab}\angle 120^{\circ}$

• 做题前明确题目中给出的是相电压还是线电压
• 三相电路的功率公式中, $\phi$ 通过 $\dot{U}_{p}$ 与 $\dot{I}_{l}$ 的夹角得到

$$P=\sqrt{3}\dot{U}_{l}\dot{I}_{l}cos(\phi)\neq \sqrt{3}Re[\dot{U}_{l}\bar{\dot{I}}_{l}]$$

• 单相法中, $\Delta$ 负载中的电流等价于 $\Delta$ 电路中的线电流转相电流公式, 但不是相电流. $Y-Y$ 电路中, 相线电流相同