Matlab 模型仿真

系统数学模型

系统数学模型函数用于创建系统的数学模型 (传递参数), 函数参数即模型的参数, 返回一个模型对象

tf 函数

• 功能: 创建传递函数模型
• 函数原型 sys = tf(num, den)
• 参数
  • num 实数数组
    传递函数分子多项式系数, 从高次项到低次项
  • den 实数数组
    传递函数分母多项式系数, 从高次项到低次项
• 返回值
  返回创建的传递函数模型
• 注意
  传递函数的分母次数必须大于分子, 即 size(den)>size(num)
• 示例

num = [1 2];
den = [1 2 3];
sys = tf(num, den)

示例代码将创建传递函数

$$G(s)=\frac{1s+2}{s^2+2s+3}$$

zpk 函数

• 功能: 创建零极点的传递函数模型
• 函数原型 sys = zpk(z, p, k)
• 参数
  • z 复数数组
    传递函数的所有零点
  • p 复数数组
    传递函数的所有极点
  • K 实数
    传递函数的增益
• 返回值
  返回创建的传递函数模型
• 注意
  • 允许传入复数极点或零点, 但必须同时传入两个共轭极点/零点
  • 对于多重根重复输入即可
  • 注意, 如下方公式所示, zpk 得到的是 $G_2$, 与教材上的传递函数 $G_1$ 形式不同, 特别注意 $K_2\neq K_1$

$$\begin{split}G_1(s)=\frac{K_1\prod(T_i s+1)}{\prod(T_i' s+1)}\\ G_2(s)=\frac{K_2\prod(s-z_i)}{\prod(T_i' s-p_i)} \end{split}$$

• 示例

z = [4 5];
p = [1 2 3];
sys = zpk(z, p, 6);

示例代码将创建传递函数

$$G(s)=\frac{6(s-4)(s-5)}{(s-1)(s-2)(s-3)}$$

ss 函数

• 功能: 创建系统状态空间模型

具体见 matlab 函数说明

模型连接

series 函数

• 功能: 串联两个数学模型
• 函数原型 sys = serise(sys1, sys2)
• 参数
  • sys1, sys2 数学模型
    参与串联的两个模型
• 返回值
  返回串联后的函数模型
• 示例

sys1 = tf([2 9], [4 7 2]);
sys2 = tf([1 6], [1 7 1]);
sys = series(sys1, sys2);

示例将串联两个传递函数, 得到

$$G(s)=\frac{2s+9}{4s^2+7s+2}\times\frac{s+6}{1s^2+7s+1}$$

parallel 函数

• 功能: 并联两个数学模型
• 函数原型 sys = parallel(sys1, sys2)
• 参数
  • sys1, sys2 数学模型
    参与并联的两个模型
• 返回值
  返回并联后的函数模型
• 示例

sys1 = tf([2 9], [4 7 2]);
sys2 = tf([1 6], [1 7 1]);
sys = parallel(sys1, sys2);

示例将并联两个传递函数, 得到

$$G(s)=\frac{2s+9}{4s^2+7s+2}+\frac{s+6}{1s^2+7s+1}$$

feedback 函数

• 功能: 反馈连接两个数学模型
• 函数原型 sys = parallel(sys1, sys2, sign=-1)
• 参数
  • sys1 数学模型
    前向通道上的数学模型
  • sys2 数学模型
    反馈通道上的数学模型
  • sign 1 或 -1
    反馈类型, 取 1 时为正反馈, 取 -1 时为负反馈
• 返回值
  返回反馈连接后的函数模型
• 示例

sys1 = tf([2 9], [2 6 5]);
sys2 = tf(1, 1);
sysp = feedback(sys1, sys2, 1);

示例将传递函数 $G_k=\frac{2s+9}{2s^2+6s+5}$ 进行单位正反馈, 得到

$$G(s)=\frac{G_k(s)}{1-G_k(s)}$$

模型仿真

step 函数

• 功能: 获取模型的单位阶跃响应
• 函数原型 [Y T] = step(sys, t)
• 参数
  • sys 数学模型
    用于仿真的模型
  • t 实数数组
    采样响应结果的时间轴
• 返回值
  • Y 实数数组
    响应结果
  • T 实数数组
    响应结果的时间轴
• 示例

sys = tf([2 9], [2 6 5]);
t = 0:0.05:30;
y = step(sys, t);
plot(t, y);

impluse 函数

• 功能: 获取模型的单位冲激响应
• 函数原型 [Y T] = impulse(sys, t)
• 参数
  • sys 数学模型
    用于仿真的模型
  • t 实数数组
    采样响应结果的时间轴
• 返回值
  • Y 实数数组
    响应结果
  • T 实数数组
    响应结果的时间轴
• 示例
  与 step 函数 类似

lsim 函数

• 功能: 获取模型对于给定信号的响应
• 函数原型 [Y T] = lsim(sys, u, t)
• 参数
  • sys 数学模型
    用于仿真的模型
  • u 实数数组
    用于仿真的信号, 采样时间与 t 对应
  • t 实数数组
    采样响应结果的时间轴
• 返回值
  • Y 实数数组
    响应结果
  • T 实数数组
    响应结果的时间轴
• 示例

sys = tf([2 9], [2 6 5]);
t = 0:0.05:4 * pi;
u = sin(t);
y = lsim(sys, u, t);
plot(t, y);

模型分析

nyqusit 函数

• 功能: 绘制指定系统的 Nyquist 图, 或获取其 Nyquist 图上的点
• 函数原型 [re im w] = nyquist(sys)
• 参数
  • sys 数学模型
    用于分析的数学模型
• 返回值
  • re, im 实数数组
    Nyquist 图的实部与虚部
  • w 实数数组
    绘制 Nyquist 图时自动选择的频率
• 注意
  • 当 nyquist 函数没有输出被接收时, 将会自动绘制 Nyquist 图
  • 此函数通常配合 Nyquist 判据使用, 自动输出时将标记曲线方向与 $(0,-1)$ 点
• 示例

sys = tf([1 2], [1 6 -5]);
nyquist(sys);

示例将绘制给定传递函数 $G(s)=\frac{s+2}{s^2+6s-5}$ 的 Nyquist 图

bode 函数

• 功能: 绘制指定系统的 Bode 图, 或获取其 Bode 图的幅频与相频曲线上的点
• 函数原型 [mag phase w] = bode(sys)
• 参数
  • sys 数学模型
    用于分析的数学模型
• 返回值
  • mag 三维实数数组
    Bode 图的幅频曲线
  • phase 三维实数数组
    Bode 图的相频曲线
  • w 一维实数数组
    Bode 图曲线的频率轴
• 注意
  • 当 bode 函数没有输出被接收时, 将会自动绘制 Bode 图
  • mag 与 phase 为 1x1xn 的三维数组, 可使用 phase = phase(:) 的方法转换为一维
  • 直接接收得到的 mag 为原始振幅, 还需要 mag = 20 * log10(mag(:)) 将其转化为分贝
• 示例

sys = tf([1 2], [1 6 -5]);
bode(sys);

示例将绘制给定传递函数 $G(s)=\frac{s+2}{s^2+6s-5}$ 的 Bode 图

margin 函数

• 功能: 求出给定开环系统的幅值裕度与相位裕度
• 函数原型 [Gm Pm Wcg Wcp] = margin(sys)
• 参数
  • sys 数学模型
    用于分析的数学模型
• 返回值
  • Gm 实数
    幅值裕度 $K_g$
  • Wcg 实数
    相位交界频率 $\omega_g$, 即幅值裕度取值对应的频率 (相频曲线第一次穿越 $\varphi=-180\degree$)
  • Pm 实数
    相位裕度 $\gamma$
  • Wcp 实数
    剪切频率 $\omega_c$, 即相位裕度取值对应的频率 (幅频曲线第一次穿越 $20\lg|GH|=0dB$)
• 注意
  • 当 margin 函数没有输出被接收时, 将会自动绘制 Bode 图, 并且在图上标记出 Gm 与 Pm
  • Gm 为原始振幅, 还需要 Gm = 20 * log10(Gm) 将其转化为分贝
• 示例

sys = tf(3.5, [1, 2, 3, 2]);
margin(sys)

示例将绘制给定开环传递函数 $G(s)=\frac{3.5}{s^3+2s^2+3s+2}$ 的 Bode 图